Transformação de Möbius entre dois conjuntos [duplicado]

Dec 14 2020

Preciso de ajuda para construir uma transformação de Möbius (que existe, eu acho) que mapeia o domínio $\left\{z=x+i y \in \mathbb{C}: x^{2}+\frac{y^{2}}{4}<1\right\}$ para $\{z=x+i y \in \mathbb{C}: y>0\}$

Respostas

J.G. Dec 14 2020 at 18:48

@MartinR e @Vercassivelaunos deram explicações geométricas concisas de porque essa transformação não existe. É um exercício que vale a pena fazê-lo da maneira mais difícil, para aqueles não familiarizados com o circline -a-circline resultado .

Parametrizar o primeiro conjunto como $x=r\cos t,\,y=2r\sin t$ com $r\in[0,\,1),\,t\in[0,\,2\pi)$. E se$\frac{az+b}{cz+d}$ faz o trabalho,$$\frac{ar\cos t+b+2iar\sin t}{cr\cos t+d+2icr\sin t}=\frac{(ar\cos t+b+2iar\sin t)(cr\cos t+d-2icr\sin t)}{c^2r^2(\cos^2t+4\sin^2t)+2cdr\cos t+d^2}$$tem uma parte real positiva para todos esses $r,\,t$. De forma equivalente, precisamos$$0<a\sin t\cdot(cr\cos t+d)-c\sin t\cdot(ar\cos t+b)=(ad-bc)\sin t$$para todos $t$, o que claramente não funciona.