Truque curto para encontrar o número de subgrupos de Sylow p em grupos de permutação. [duplicado]

Question

Eu sei, $|S_4 |=24 =2^3\cdot3$.

Então aqui está a ordem do sistema $2$ subgrupo é $8$ e pelo terceiro teorema de sistema podemos dizer o número de sistemas $2$ subgrupos é $1$ ou $3$. Então, encontrando o sistema$2$ subgrupos explicitamente, podemos concluir que é $3$. Mas aqui também sabemos o número de sistemas$3$ subgrupos é $1$ ou $4$.

Minha pergunta é: podemos encontrar o número exato de sistemas $2$ e $3$ subgrupos sem calcular os subgrupos de sistema explicitamente, apenas pela contagem de elementos dos subgrupos, porque às vezes precisamos apenas do número exato de subgrupos de sistema?

Answer 1

Suponha $S_4$ tem um Sylow único $2$-subgrupo dizer $K$. Pelo segundo teorema de Sylow,$K$ deve ser normal em $S_4$. Mas$S_4$ não tem nenhum subgrupo normal de ordem $8$(Consulte aqui ). Portanto, o número de Sylow$2$-subgrupos em $S_4$ deve ser três.