Uma pergunta em resposta de um usuário na pergunta a cada bijeção$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$tem infinitas descontinuidades

Question

Esta questão específica:

Mostre que toda bijeção$ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$tem infinitos pontos de descontinuidade.

foi perguntado em um quiz meu.

Incapaz de resolvê-lo, procurei no MSE. Eu encontrei esta solução particular.

Pontos de descontinuidade de uma função bijetiva$f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$

Mas eu tenho uma pergunta em solução. Mas tanto o questionador quanto o respondente não são vistos no site por muito tempo.

Então, estou fazendo minha dúvida como uma pergunta separada:

Na terceira linha de resposta fornecida no link acima, como o autor deduz isso$f(I_m)$é um intervalo aberto? Significa que$f$mapeia intervalos abertos para intervalos abertos? Por quê?

Alguém pode por favor dar uma resposta rigorosa?

Answer 1

Se$f$é contínua e injetiva em um intervalo aberto$(a,b)$então$f$é monotônico. Suponha$f$está aumentando. Por IVP de funções contínuas, a imagem é um intervalo, chame-o$I$. Suponha que esse intervalo contenha um de seus pontos finais. Dizer$I=[t,s)$. Então$t=f(x)$para alguns$x \in (a,b)$. Escolha qualquer$s$entre$a$e$x$. Então$f(s) <f(x)=t$uma contradição. De forma similar,$I$não pode conter seu ponto final direito.

Answer 2

Um intervalo aberto é um conjunto conexo, e$f$é contínua, então$f[I_m]$está conectado. Os únicos subconjuntos conectados da reta real são intervalos (abertos, semiabertos ou fechados), raios (abertos ou fechados) e$\Bbb R$em si, então$f[I_m]$. Se você não estiver familiarizado com a noção topológica geral de conectividade, pode usar o teorema do valor intermediário para mostrar que$f[I_m]$deve ser de um desses tipos. O ponto crucial é que esses são os subconjuntos convexos de$\Bbb R$: E se$x$e$y$são membros de um desses conjuntos, e$x<z<y$, então$z$também é um membro desse conjunto.

Como é apontado na prova,$f\upharpoonright I_m$, sendo contínuo e injetivo, é (estritamente) monótono, então é estritamente preservador de ordem ou estritamente reverso de ordem. Desde$I_m$é um intervalo aberto ou raio aberto, isso significa que$f[I_m]$também deve ser um intervalo aberto ou raio aberto: se tivesse uma extremidade, essa extremidade deveria ser a imagem de uma extremidade de$I_m$.