Uma questão sobre espaço métrico definido em$\mathbb{Q}$.
Considerar$\mathbb{Q}$Seja o conjunto de todos os números racionais. Definiram$d(p,q)=|p-q| $. Então, quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$está fechado.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$está fechado.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$é compacto.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$é compacto.
Então, eu estava pensando sobre isso, onde a opção 4 não é verdadeira porque isso não é limitado. Portanto, não compacto decorre da ilimitação. Então, se pudermos mostrar que aqui o conjunto em 4. E acho que nenhum 1. é fechado, já que seu complemento é$\mathbb{Q}$união algum conjunto aberto em$\mathbb{R}$.
Para a outra afirmação, podemos usar o critério geral de que "Um espaço métrico é compacto se for completo e totalmente limitado". Mas preciso de ajuda para fazer isso.
Respostas
Podemos escrever 1. como$\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$que é um conjunto aberto real (intervalos abertos são abertos) interceptado com$\Bbb Q$, de modo que o conjunto é aberto em$\Bbb Q$. Também está fechado em$\Bbb Q$porque também podemos escrevê-lo como$\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, que está fechado por motivos semelhantes.
2 é fechado, pois podemos escrevê-lo como$\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$e como seu elemento$2$não é um ponto interior dele, não é aberto .
O conjunto sob 3 é exatamente o mesmo que sob 2, então é de fato fechado, como vimos, então pode ser compacto, já que também é limitado. Mas na verdade não é, pois podemos escolher qualquer irracional$p$"dentro" do conjunto (digamos$\sqrt{3}$fará) e encontre uma sequência de racionais$q_n$no conjunto que converge para$p$ nos reais (isso sempre pode ser feito). Mas então a sequência$(q_n)_n$é Cauchy (é convergente nos reais, afinal) mas não convergente em$\Bbb Q$(pois o único ponto para o qual poderia convergir não está no conjunto). Portanto, o conjunto não é compacto. Uma razão mais profunda pela qual não é compacto (que você provavelmente ainda não cobriu) é que um conjunto contável compacto em um espaço métrico deve ter um ponto isolado, e este conjunto não tem nenhum. Mas a incompletude (ou o fato relacionado de que temos uma sequência sem uma subsequência convergente) pode ser usada para refutar a compacidade em um nível mais elementar.
Para 4, em todos os espaços métricos sabemos que "$A$compactar$\implies$ $A$fechado e limitado; Heine-Borel é a implicação inversa que vale em subconjuntos de$\Bbb R^n$na métrica euclidiana. A "força" disso é provar rapidamente a compacidade. Mas a implicação sempre válida pode ser usada para refutar facilmente a compacidade, e 4 é um exemplo: não limitado, portanto não compacto é uma dedução válida em qualquer espaço métrico.
um conjunto$A$em um espaço métrico é compacto se toda sequência em$A$tem subsequência convergente cujo limite pertence a$A$. A sequência$\{1,2,3,..\}$é uma sequência no conjunto dado que não possui subsequência convergente, portanto o conjunto em 4) não é compacto.
Alternativamente, você pode usar o fato de que$\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$é uma cobertura aberta do conjunto sem subcobertura finita.