Usando a regra de Leibniz para diferenciar sob o sinal de integral para integrais de linha

Aug 15 2020

Existe uma referência que prova a validade da diferenciação sob a linha integral para provar as fórmulas integrais de Cauchy

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Respostas

Melody Aug 15 2020 at 23:57

Você pode usar o Teorema 2.27 do texto Análise Real de Folland. Uma versão simplificada desse teorema para números complexos diria que se$C,D$ são compactos, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ é analítico para todos $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ é contínuo em ambos os argumentos, então para todos $w\in D$ segue que $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

Essencialmente porque isso funciona é porque $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland usa o Teorema da Convergência Dominada para garantir os trabalhos acima. No nosso caso como$C\times D$ é compacto pelo teorema de Tychonoff, e $\partial h/\partial w (z,w)$ é contínuo em $C\times D$, então $|\partial h/\partial w (z,w)|$ é delimitado acima por uma constante, digamos $M$. Desde a$C$ tem medida finita (compacta), segue-se que $M\in L^1(C)$ portanto, somos livres para usar Convergentes Dominados para justificar a diferenciação sob o signo integral.

No seu caso, $C$é um círculo, que é compacto. Para agora$f(u)/(u-w)$, você pode dizer que isso não está definido em um conjunto compacto, mas se limitarmos os valores de $w$ a um pequeno disco fechado e os valores de $u$ para o círculo, então nossa função é definida em um domínio do formulário $C\times D$ Onde $C,D$ são compactos.

Matematleta Aug 16 2020 at 01:25

Você pode encontrar uma prova cuidadosa aqui

Aqui está outra maneira: usando fatos simples sobre séries de potências, temos, fixando um número inteiro $n,$ e escrevendo $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ dentro $C,$ temos

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Segue que $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Mas $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ O resultado segue.