Usando Diferenciais (não derivadas parciais) para provar que d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplicado]
Estou tentando provar as partes de cada componente da matriz inversa na imagem anexa. Tentei usar diferenciais e depois resolver para os outros componentes. (Eu gostaria de resolver dessa forma). Tentando resolver, por exemplo,$\frac{d\theta}{dx}$ (na parte inferior esquerda da matriz inversa [anexada abaixo]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Então, observando que estamos segurando $r = constant$, portanto $dr = 0$. entendi$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, que está perto. Coloquei isso em uma calculadora parcial e fiz$\theta$ uma função de x e r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Pegando o$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Obtive a resposta certa porque r é uma função de xe y. Se eu usar o$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ e pegue o parcial, eu obtenho o que afirmei acima ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$) Também tentei substituir dr em$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ usando $r^2=x^2+y^2$ substituindo dr por $rdr = xdx + ydy$onde presumi que dy fosse constante. O que me rendeu a resposta errada. Eu gostaria de melhorar meu raciocínio lógico, então qualquer conselho sobre o que fiz também seria ótimo. Obrigada!
Resumo: Estou tentando provar usando diferenciais (não parciais) que $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
Respostas
O problema é que você não pode simplesmente escrever $\frac{d\theta}{dx}$. Na termodinâmica, existe uma notação que realmente é útil e importante. Eles escrevem derivadas parciais com um subscrito para indicar quais variáveis permanecem fixas. Então, por exemplo, se tivermos$z=f(x,y)$ e queremos encontrar a derivada de $f$ em relação a $x$, consertando $y$, nós escrevemos $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Isso é importante porque podemos ter muitas variáveis circulando e é importante saber quais variáveis são fixas.
Em seu exemplo, podemos pensar em $(x,y)$ como funções de $(r,\theta)$. Então, se escrevermos$\partial x/\partial\theta$, isso normalmente significa $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Quando você conserta$r$, então se torna verdade (porque estamos essencialmente fazendo cálculo unidimensional) que $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ No entanto, você está confundindo as coisas ao tentar calcular $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, e essas são duas bestas totalmente diferentes. Você realmente deve ter cuidado ao manter o controle das variáveis independentes. Se você alterar essas regras, mais regras de cadeia serão aplicadas
Apenas para reiterar, você está tentando comparar \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
A propósito, esteja avisado. Em geral, não temos$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. Na verdade, desde$x=r\cos\theta$, temos $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (qual é $-y$) Por outro lado, desde$\theta =\arctan(y/x)$ (pelo menos para $-\pi/2<\theta<\pi/2$), temos $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, que é muito diferente de $-y$. Isto é seu$-\sin\theta/r$, claro. A relação correta vem das matrizes derivadas completas (chamadas Jacobianas), que são inversas$2\times 2$ matrizes.
Você pode fazer tudo isso corretamente com diferenciais (formas diferenciais, na verdade), mas você ainda deve manter o controle de quem são as variáveis independentes. E você realmente deve parar de escrever coisas como$d\theta/dx$ a não ser que $\theta$realmente é uma função de apenas uma variável$x$. Para obter sua primeira fórmula, você teria que escrever$d\theta$ em termos de apenas $dx$ e $dr$; para obter o segundo, você teria que escrever$d\theta$ em termos do usual $dx$ e $dy$. É apenas uma questão de quais são as variáveis independentes s .