Uso da desigualdade de Schwarz para provar a desigualdade de Chung Erdős

Question

Estou tentando entender uma prova da desigualdade de Chung Erdős. Todas as fontes que posso encontrar (incluindo perguntas e respostas relacionadas ao MSE) afirmam algo ao longo das seguintes linhas: se$A_1, \ldots, A_n$são eventos e se$X_i$é a variável aleatória dada pela função característica de$A_i$,$i = 1, \ldots, n$, então a seguinte desigualdade decorre da desigualdade de Schwarz:

$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$

Provavelmente estou sendo particularmente estúpido sobre isso, mas simplesmente não consigo ver como aplicar a desigualdade de Schwarz para obter o que foi dito acima.

Answer 1

Uma forma da desigualdade de Cauchy-Schwarz é que$E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (Esta é a desigualdade CS usual aplicada ao espaço de variáveis ​​aleatórias de valor real com segundos momentos, com produto interno$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)

Aplique isso no caso$U=X_1+X_2+\cdots+X_n$e$V=I_{U>0}$. Observe que$E[U]=E[UV]$, este$V^2=V$e essa$E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, entregando sua desigualdade$$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$

Answer 2

Deixar$X = X_1 + \cdots + X_n$e denotar por$f$sua função de densidade de probabilidade.

Escreva$X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. Então

$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$

por Cauchy-Schwarz.