Постоянная Эйлера

«е». Все мы сталкивались с «е». Что это такое?

Это 5-й алфавит и 2-я гласная в английском языке. Это то, что мы говорим, когда показываем кому-то свои зубы. Но математики признают ее постоянной Эйлера . Наряду с другими важными математическими константами, такими как π, i, Φ, sqrt{2} и т. д., это постоянное иррациональное число имеет значение 2,718281828459045235……

Большинство математических констант являются геометрическими. Например, π — это отношение длины окружности к ее диаметру, sqrt{2} — это длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен единице. Но «e» — это константа, которая не определяется геометрией или какой-либо формой. Он основан на росте или скорости изменения. Но как?

Вернемся в 17 век, когда Яков Бернулли работал над сложными процентами, то есть наживал проценты на свои деньги.

Предположим, вы являетесь частью банка, очень щедрого банка. Допустим, вы дали банку 1 рубль, и банк дает процент в размере 100% годовых. (Действительно, очень щедрый банк). Так что теперь, ближе к концу года, у вас будет ₹2. Итак, если вы получите 50% годовых за 6 месяцев, вы получите ту же сумму, 2 фунта стерлингов? Или больше? или меньше этого? Давайте посчитаем и посмотрим?

Ну, это показывает, что если вы берете 50% годовых на 6 месяцев, это поможет вам получить больше, чем 100% годовых. А если вы будете брать 1/12 процентов каждый месяц?

Тогда будет,

Если 1/52 процента выплачивается в неделю, ваша окончательная сумма будет равна

Что насчет 1/365 процента каждый день, тогда ваша сумма к концу года после отдачи 1 фунта стерлингов в банк будет,

Точно так же вы можете рассчитать сумму денег, которую вы получаете каждый час, каждую минуту, каждую секунду или даже каждую миллисекунду!

Итак, что вы наблюдаете? Значение рассчитывается по мере увеличения n по общей формуле, как

Итак, вы можете заметить, что по мере увеличения значения n значение все ближе и ближе приближается к определенному значению. Это значение «е».

Но Якоб Бернулли не вычислил значение константы. Он просто знал, что ее значение будет где-то между 2 и 3. Именно Эйлер окончательно вычислил эту константу и доказал, что она иррациональна. Он использовал формулу для расчета стоимости, а не

Но другая формула. Он использовал следующую формулу.

Это непрерывная дробь . Вы можете сказать, что, поскольку это продолжается вечно, у этой дроби есть закономерность, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,…… Итак, если это продолжается вечно, тогда это иррациональная дробь. Если бы он закончился, это было бы рационально, так как вы можете записать его в виде дроби. Таким образом, это доказывает, что «е» — иррациональная константа.

Для вычисления значения «е» Эйлер использовал другую формулу. Это,

«е» — это естественный язык роста, это естественный язык исчисления. Почему?

На приведенном выше рисунке показан график e^x. Теперь особенность графика e^x заключается в том, что если взять любую точку на графике, значение этой точки равно e^x, градиент в этой точке равен e^x , а площадь под графиком от этой точки далее до -∞ также является e^x. Таким образом, когда вы интегрируете или дифференцируете e^x, вы получаете сам e^x. Эта константа «e» является очень сильным инструментом в исчислении.

Также известно, что постоянная Эйлера «е» объединяет некоторые из больших математических констант в одну формулу, то есть корень из -1, который равен i, π, 1 и 0. красивое уравнение в математике:

Я напишу больше об этом уравнении в следующей статье.