3 boyutlu kompakt düz manifoldların sınıflandırılması.

Bağlı bir meblağa homeomorfik olduğunda, iki zirveden biri küreye homeomorfikse, bir manifold asal olarak adlandırılır .

İkinci boyutta, kapalı ana manifoldlar $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, ve $S^1\times S^1$. Yüzeylerin sınıflandırılmasıyla, her kapalı iki boyutlu manifold, bağlantılı bir ana manifoldlar toplamına homeomorfiktir. Yönlendirilebilir durumda, bağlantılı zirveler benzersizdir.$S^2$ zirveler (her zaman toplamı $S^2$hiçbir şeyi değiştirmeden). Yönlendirilemez durumda, artık bizim$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ homeomorfiktir $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. Bununla birlikte, birinin kullanımı yasaklanırsa benzersizlik (küresel zirvelere kadar) kurtarılabilir.$S^1\times S^1$ zirveler.

Kapalı üç manifoldlar için de benzer bir hikaye var. Üç-manifold için asal ayrışma teoremi, her kapalı üç-manifoldun, bağlantılı bir ana manifoldlar toplamına homeomorfik olduğunu belirtir. Yönlendirilebilir durumda ise, bağlı zirveler benzersizdir.$S^3$zirveler. Eğer$M$ yönlendirilemez, bu durumda benzersizlik artık geçerli değildir, ancak bir kişi, $S^2\times S^1$ bağlantılı zirvelerden biri olarak.

İki ve üçüncü boyutlar arasındaki temel fark, sonsuz sayıda asal üç-manifoldun olmasıdır. Yönlendirilebilir durumda, üç kategoriye ayrılırlar:

1. kapsanan manifoldlar $S^3$,
2. manifold $S^2\times S^1$, ve
3. yönlendirilebilir küresel olmayan manifoldlar.

Bu kategoriler aynı zamanda temel grupla da karakterize edilebilir: sırasıyla sonlu, sonsuz döngüsel ve sonsuz döngüsel olmayan.

Ancak yönlendirilemez durumda, bir sınıflandırmayı kabul etmek için çok fazla ana manifold vardır; bu sorunun cevabına bakın .

Dördüncü boyutta, yönlendirilebilir durumda bile artık benzersizliğimiz yok. Örneğin,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ homeomorfiktir $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Gerçeğine benzerliğe dikkat edin$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ homeomorfiktir $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.