$A$ gerçek matristir ve bazıları için $k\geq 2,A^{k}$ ortogonal bir matrise benzer, nasıl kanıtlanır $A$ aynı zamanda ortogonal bir matrise benzer mi?

Aug 17 2020

Benim girişimim.

$A^{k}=POP^{-1}$.Buraya $O$ ortogonal bir matristir. ortogonal bir matris bulmak istiyorum $O_{1}$ ve $O_{1}^{k}=O.$ Bunun yapılabileceğini düşünüyorum çünkü tersinir matris her zaman bir 'karekök'e sahiptir, ancak bu yapılabilir olsa bile ve$A^{k}\sim O_{1}^{k}.$Bu hala hakkında herhangi bir bilgi vermeyecek $A$Öyleyse, bazı kanonik biçimlerde verilen bilgiler nasıl kullanılır? $A^{k}$ hakkında bilgi bulmak için $A$?

Daha fazla girişim.

Sanırım bu sorunu üzerinde düşünmeliyim $\mathbb{C}.$Yani $O$ özel bir karmaşık normal matristir. yani spektral teorem ile $O$ köşegenleştirilebilir $\mathbb{C}$.Bunun anlamı $A^{k}$ köşegenleştirilebilir ve özdeğer modülü 1'dir. Yani A. $A\sim M=diag\{e^{i\theta_{1}},\cdots,e^{i\theta_{s}},\lambda_{s+1},\cdots,\lambda_{n}\}.$ M'nin ortogonal bir matrise benzer olduğu açıktır. $\mathbb{C}.$

Bu kanıt oldukça garip çünkü çoğu zaman sadece $\mathbb{R}$ ortogonal matristen bahsederken problemin kendisi kullandığımız alanı belirtmiyor.

Daha iyi bir çözüm var mı？

Yanıtlar

1 user8675309 Aug 17 2020 at 05:50

Sanırım $P$gerçek değerli bir matristir. (Gerekirse$\mathbb C$ Aşağıdakiler, Hermitian formları düşünmek için biraz değiştirilebilir.)

Tarafından verilen koordinat vektör uzayını düşünün $V=\mathbb R^n$ ve bu uzayda doğrusal bir operatör tarafından verilen $T:= P^{-1}AP$. Bunu göstermek yeterli$T$gerçek bir ortogonal matrise benzer. Dan beri$T^k$ tekil değil, yani $T$.

İle $\langle, \rangle$Standart gerçek iç ürünü ifade ederek, aşağıdaki özel simetrik çift doğrusal formu tanımlıyoruz . İçin$v,v' \in V$

$\langle v, v' \rangle_c := \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$.
Bu formun pozitif tanımlı olduğu hemen anlaşılıyor. Ek uyarı

$\langle Tv, Tv' \rangle_c $
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle $
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=0}^{k-2}\langle T^{j+1}v, T^{j+1}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle T^{k}v, T^{k}v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\Big(\sum_{j=1}^{k-1}\langle T^{j}v, T^{j}v'\rangle\Big) + \frac{1}{k}\langle v, v'\rangle$
$= \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\langle T^j v, T^j v'\rangle$
$=\langle v,v' \rangle_c $

Bu ima eder $T$ özel çift doğrusal forma göre ortogonal bir operatördür.

Şimdi görüntüsünü hesaplayın $T$ iyi seçilmiş bir temele göre
$T\mathbf B=\mathbf BQ$
nerede $\mathbf B$özel çift doğrusal forma göre bazı ortonormal temel olarak seçilir ve$Q$bir matristir. Vektör uzayımız$V=\mathbb R^n$, bunu not ediyoruz $\mathbf B$ tersinir bir matris olarak da yorumlanabilir.

$\langle v, v' \rangle_c = \langle Tv, Tv' \rangle_c \longrightarrow$ $Q$standart iç ürüne göre ortogonaldir .

En sonunda
$T =T\big(\mathbf B\mathbf B^{-1}\big) = \big(T\mathbf B\big)\mathbf B^{-1}= \big(\mathbf BQ\big)\mathbf B^{-1}= \mathbf BQ\mathbf B^{-1}$

Böylece $T$ ortogonal bir matrise benzer

detaylı gerekçelendirme $Q^TQ = I$:
$v = \mathbf B\mathbf x$ ve $v' =\mathbf B y$;
$\mathbf w = Q\mathbf x$ ve $\mathbf z = Q\mathbf y$
$\langle T v, Tv'\rangle_c$
$=\langle T\mathbf B\mathbf x\mathbf , T\mathbf B\mathbf y\rangle_c$
$=\langle \mathbf B (Q\mathbf x), \mathbf B(Q\mathbf y)\rangle_c$
$=\langle \mathbf B \mathbf w, \mathbf B\mathbf z\rangle_c$
$=\langle \sum_{k=1}^n \mathbf b_k w_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\langle \mathbf b_k , \sum_{i=1}^n \mathbf b_i z_i\rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k\sum_{i=1}^n z_i \langle \mathbf b_k , \mathbf b_i \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k\langle \mathbf b_k , \mathbf b_k \rangle_c$
$=\sum_{k=1}^n w_k z_k$
$=\mathbf w^T\mathbf z$
$=\mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
ve neredeyse aynı hesaplamayla $\langle v, v'\rangle_c = \mathbf x^T \mathbf y\longrightarrow \mathbf x^T \mathbf y = \mathbf x^T Q^T Q\mathbf y$
çıkarım nereden gelir çünkü $\langle Tv, Tv'\rangle_c = \langle v, v'\rangle_c$
Yukarıdakiler keyfi seçim için geçerli olduğundan $\mathbf x$ ve $\mathbf y$ Şu sonuca varıyoruz ki $Q$standart iç ürüne göre ortogonaldir .

note Not
Yukarıdakiler ayrıca neden$M^k = I$ ima ediyor ki $M$ üzerinde köşegenleştirilebilir $\mathbb C$, gibi $I$gerçek bir ortogonal matrisin özel bir durumudur. Yukarıdakiler göstermektedir ki$M$ spektral teorem ile diyagonal bir matrise benzer olan gerçek bir ortogonal matrise benzer ( $\mathbb C$). Bu sitede göreceğiniz bu sonucun standart kanıtı, minimal polinom argümanı kullanıyor, ancak minimal polinom, OP'nin sorusu için geçerli görünmüyor.