Aşamanın QM'de ne zaman bir rol oynadığını veya oynamadığını çok kesin bir şekilde açıklamak
Sorum muhtemelen ilk bakışta temeldir, ancak bunu ayrıntılı olarak gerçekten anlamak istiyorum.
Kuantum mekaniğindeki fazın rolünü anlamamın yolu, fiziksel bir kuantum durumuna sahip olur olmaz: $|\psi\rangle$ile çarparak $e^{i \phi}$fiziksel durumu değiştirmez. Genel aşamanın bir rol oynamadığını söylüyoruz.
Ve örneğin eyalette: $|\psi \rangle = |a \rangle + | b \rangle$, Küresel bir aşama ekleyebilirim $|\psi \rangle$ama değil $|a \rangle$ veya $|b \rangle$ çünkü o zaman ikisi arasında göreceli bir aşama görünebilir ve sonuçta ortaya çıkan durum aynı olmaz (tabii ki, her ikisine de aynı aşamanın eklenmesi hariç).
Ama sonra, aşamanın rolünün titizlikle nasıl resmileştirileceği. "Genel aşama" dediğimizde, genel olarak neye göre bir rol oynamaz? Fiziksel duruma sahip olduğumu hayal et$|\psi \rangle$, İstersem ona bir faz ekleyebilirim. Ama şöyle bir şey yaratmayı hayal eder etmez$|\phi \rangle = |\psi \rangle + |\psi' \rangle$o zaman bunu yapamam. Ve bu biraz paradoksal çünkü daha önce, bunu daha sonra eyalette bilmediğimi hayal edebiliyordum.$|\phi\rangle$yaratılacaktır. Yani bir aşama ekleyecektim ama yapamıyorum ...? (Umarım burada açıkımdır).
Sorum şu: bir şeyleri tanımlamanın doğru ve titiz yolu nedir? İlk önce fiziksel durumları matematiksel "temel" durumlardan ayırmak zorunda mıyız? Öyleyse, fiziksel durumları nasıl tanımlarız? Açıklamak istediğimiz sistemin durumları bunlar mı? Ve sonra, fiziksel durumlara bir faz eklemenin fizikte bir rol oynamadığını, ancak temel durumları etkilemediğini söylüyoruz. Ancak fiziksel bir durum nedir$|\psi \rangle$ benim örneğimde $|\phi \rangle = |\psi \rangle + |\psi' \rangle$
Beni rahatsız eden bir soru örneği, varsayalım $X$ ve $Y$ iki kuantum durumu, hesaplıyorum $\langle X |Y \rangle$ve karmaşık bir sayı buluyorum. Aşamasını değiştirebilir miyim$Y$sonunda numaram pozitif olacak mı? Bunu yapmaya iznim var mı? Sanırım eğer$X$ ve $Y$yapabileceğim iki fiziksel durum var ama bunlardan biri temel durumsa değil. Bu da her şeyi kesin olarak tanımlama soruma geri dönüyor.
Yanıtlar
Temele karşı temele uygun olmayan bir ayrım değildir, çünkü herhangi bir vektör bir temelin parçası olabilir. Ancak, anladığınızı düşündüğüm ve haklı olduğunuz şey, fiziksel durumu matematiksel ketten ayırmanız gerektiğidir. Bunu soyut olarak anlamak zor olabilir, bu yüzden satırdaki dalga fonksiyonlarıyla çalışalım. Ana noktalar:
Bazıları verildi $\psi$, $\psi$ ve $e^{i\alpha}\psi$farklı vektörlerdir ve aynı fiziksel durumu temsil ederler. Fiziksel ve matematiksel nesneler arasındaki ilişki bire çoktur.
Bir işlem olarak üst üste binme, durumlar üzerinde değil matematiksel vektörler üzerinde tanımlanır; Bence kafa karıştıran anahtar nokta bu. Başka bir işlev verildiğinde$\phi$ile temsil edilen fiziksel durumlar arasında bir süperpozisyon oluşturamazsınız $\phi$ ve $\psi$, faz belirsizliği nedeniyle. Aslında belirli bir işlevi seçmelisiniz.
Bunun sonucu olsa bile $\psi$ ve $e^{i\alpha}\psi$ aynı durumu temsil eder, $\phi + \psi$ ve $\phi + e^{i\alpha}\psi$yapma. Tüm süperpozisyonu bir faz ile çarpabilirsiniz, ancak zirveleri çarpamazsınız.
Bence karışıklık, bize sürekli olarak sabit bir fazla ilişkili iki işlevin eşdeğer olduğu söylendiği için ortaya çıkıyor, ancak biçimciliğin hala işlevlerin kullanılmasını gerektirdiği vurgulanmıyor. $\psi$ ve $e^{i\alpha}\psi$aynı fiziksel durumu temsil eder, ancak onları tamamen matematiksel olarak eşdeğer olarak alamayız. Belirsizlikle başa çıkmalıyız, çünkü dediğim gibi , durumların değil, fonksiyonların üst üste binmelerini alıyorsunuz .
Ve evet, aşamasını değiştirebilirsiniz $\langle X | Y \rangle$ fiziksel yorumunu değiştirmeden isteyerek $|X\rangle$ ve $|Y\rangle$. Ancak iç çarpım matematiksel bir işlemdir; Eğer onu gözlemlenebilir bir miktarla ilişkilendirirseniz, aşama düşecektir.
Kolay yol: Potansiyel enerji için sıfır seçmeyi düşündüğünüz gibi küresel bir aşama seçmeyi düşünün. Potansiyel enerjinin sıfırını istediğiniz yere ayarlamanıza izin verilir (örneğin kinematik problemleri için, yer seviyesinde yerçekimi potansiyel enerjisini sıfır olarak ayarlayabilirsiniz), ancak bir seçim yaptıktan sonra tutarlı olmanız gerekir. Bazı yerlerde deniz seviyesinde enerji sıfır, diğerlerinde okyanusun dibinde sıfır olamaz.
Aynı şekilde, genel aşamayı istediğiniz gibi değiştirebilirsiniz, ancak tutarlı olmanız gerekir. Bir faz eklerseniz$| X \rangle$ böylece olur $e^{i\phi} | X \rangle$, sonra $| Y \rangle $ ayrıca olmalı $e^{i\phi} | Y \rangle$. Bu, OP'deki son soruyu yanıtlar çünkü eğer$|Y\rangle \rightarrow e^{i\phi} |Y\rangle$, sonra $\langle Y|\rightarrow e^{-i\phi}\langle Y|$, çünkü sütyenler ketlere eşleniktir (bu nedenle faz da eşleniktir). Bu nedenle$\langle Y | X \rangle \rightarrow \langle Y | e^{-i\phi} e^{i\phi} | X \rangle = \langle Y | X \rangle$değişmedi. Genel fazın fiziksel bir anlamı yoktur.
Aslında, potansiyel enerjinin sıfır seçimi, küresel faz seçimiyle yakından ilgilidir, çünkü bir miktar enerji ofseti eklerseniz $E$ her eyalete, sonra zamandan sonra $t$ her eyalette fazladan (küresel) bir aşama olacaktır $e^{iEt/\hbar}$. Dolayısıyla, enerji ofsetlerini seçmek ve küresel aşamaları seçmek neredeyse aynı şeydir.
Matematiksel yol: Kuantum mekaniği problemlerinin bir Hilbert uzayında matematiksel olarak temsil edildiğini düşünürüz. Bu tam olarak doğru değil. Kuantum mekaniği problemleri için gerçek ortam, "ışın uzayı" , yani "yansıtmalı Hilbert uzayı" dır, bu da aslında küresel aşamaların önemli olmadığı fikrinin matematiksel bir biçimlendirmesidir. Detaylar oldukça basit, bu yüzden burada tekrar etmeyeceğim. Önemli olan nokta, kuantum mekaniğinin küresel aşama nosyonunun olmadığı bir uzayda düzgün bir şekilde "yaşıyor" olmasıdır. Bununla birlikte, ilişkili Hilbert alanında çalışmak genellikle daha uygundur ve bunu yapmak için ödediğiniz tek fiyattır (bir büyük istisna hariç)$^1$) küresel aşama belirsizliğidir.
Günün sonunda, çözünürlük yukarıdakiyle aynıdır: kuantum mekaniği probleminizi kurduğunuzda, ışın uzayı yerine Hilbert uzayında çalışmayı seçerseniz, o zaman küresel bir faz seçimi yapmanız gerekir. . Sadece tutarlı olmayı hatırlamanız gerekir, böylece tüm durumlara aynı küresel aşama verilir.
- Işın uzayı yerine Hilbert uzayında çalışmanın tek yakalanması, simetriler söz konusu olduğunda. Işın uzayının Hilbert uzayından biraz daha genel simetri işlemlerine izin verdiği ve özellikle anti-doğrusal işlemlere izin verildiği ortaya çıktı. Bu konuda daha fazla bilgi için Wigner'in teoremine bakın .
Klasik dalgalara bir benzetmeden yararlanabileceğinizi düşünüyorum. Örneğin ışığı alın ve elektrik alanının sürekli bir sinüs dalgası olduğunu hayal edin. Kendi başına, aşaması "mutlak" değildir çünkü zamanınızı tanımlayabilirsiniz$t=0$ dalganın herhangi bir noktasında olması ve genlik, polarizasyon vb. gibi fiziksel olarak ölçülebilen özelliklerde hiçbir fark yaratmayacaktır.
Faz, birden fazla dalgayla çalışmaya başladığınızda önemlidir çünkü fiziksel olarak anlamlı bir faz farkına sahip olurlar . Matematiksel olarak bu, iki veya daha fazla dalga eklediğinizde veya çarptığınızda (örneğin, bir girişim veya doğrusal olmayan karıştırma deneyinde) devreye girecektir. Toplama ve çarpma işlemleri, dalgaların fazda olduğu ve faz dışı olduğu durumlar arasında eşdeğer değildir:$$ \sin(\omega t)\cos(\omega t) \ne \sin(\omega t)\sin(\omega t) $$ $$ \sin(\omega t) + \cos(\omega t) \ne \sin(\omega t) + \sin(\omega t)$$ Öte yandan, sadece zaman ortalamasını ölçüyorsam $\langle .\!\rangle$ tek bir ışık dalgasının gücü, faz önemli değil: $$ \langle \sin(\omega t)^2 \rangle = \langle \cos(\omega t)^2 \rangle = 1/2$$
Kuantum mekaniği ile ilgili olan şey, fiziksel olarak ölçülebilir büyüklüklerin her zaman dalga fonksiyonlarının çoğalmasını içermesidir (ör.$\langle \psi |\psi \rangle$ veya $\langle \psi | H |\psi \rangle$), dolayısıyla bu dalgaların birbirleriyle faz dışı olabileceği her durumda, faz önemlidir. Tabii ki, durum böyle olmaz$\langle \psi |\psi \rangle$, yukarıdaki gibi, ancak eğer $H$ karmaşıktır ve genel olarak öyledir, o zaman aşama, $\langle \psi | H |\psi \rangle$.
Not: Projektif Hilbert Uzayı ile ilgili alttaki yoruma bakınız .
Eğer $|a\rangle$ o zaman bir ket $e^{i\phi}|a\rangle$aynı zamanda bir ket. Ama genel olarak
$$ |a\rangle \neq e^{i\phi}|a\rangle $$
Ayrıca, $\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle$ aynı zamanda bir ket ama genel olarak
$$ |a\rangle \neq \frac{1}{\sqrt{2}} |a\rangle $$
Kuantum mekaniğinde hiç kimse ketlerin $|a\rangle$, $e^{i\phi}|a\rangle$ ve $\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle$ vektörler veya ketler olarak birbirine eşdeğerdir.
Olan şey, kuantum mekaniğinde, kets uzayının (bir anlamda) durumların uzayından daha büyük olmasıdır . Matematiksel anlamda bir durumun kets uzayında bir denklik sınıfı olduğunu söyleyebiliriz.
Bir Hilbert uzayımız olduğunu varsayalım $\mathcal{H}$. İzin Vermek$|a\rangle, |b\rangle \in \mathcal{H}\setminus{0}$(Sıfır vektörü hariç Hilbert uzayı). Eşdeğerlik ilişkisini tanımlayın $\sim$.
$|a\rangle \sim |b\rangle$ eğer varsa $\phi \in [0, 2\pi)$ öyle ki $$ \frac{|a\rangle}{\sqrt{\langle a|a\rangle}} = e^{i\phi}\frac{|b\rangle}{\sqrt{\langle b|b\rangle}} $$ Yani, normalleştirilmiş versiyonu $|a\rangle$ sadece bir faz faktörü ile normalleştirilmiş versiyonu ile ilgilidir $|b\rangle$. Şimdi tanımlayabilirsiniz denklik sınıfını arasında$|a\rangle$: $$ \left[|a\rangle\right] = \left\{|b\rangle \in \mathcal{H}\setminus 0: |b\rangle \sim |a\rangle \right\} $$ Yani, tüm setlerin seti $|b\rangle$ eşdeğer olan $|a\rangle$ denklik ilişkisi altında $\sim$. Artık durum kümesini şu şekilde tanımlayabiliriz:$$ \mathcal{S} = \left\{\left[|a\rangle\right]: |a\rangle \in \mathcal{H}\setminus 0\right\} $$ Yani, devletler kümesi, $\mathcal{S}$ içindeki tüm denklik sınıflarının kümesidir $\mathcal{H}\setminus 0$ eşdeğerlik ilişkisi altında $\sim$.
Örneğin, şunu unutmayın:
\begin{align} \left[|a\rangle \right] = \left[e^{i\phi}|a\rangle \right] = \left[\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle \right] \end{align}
Bu, temelde fizikçilerin "tüm durumların normalleştirilmesi gerektiğini" ve "küresel aşamaların fiziksel bir anlamı olmadığını" iddia ettikleri titiz bir ifadedir.
Misal:
\begin{align} |\psi_1\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|a\rangle + |b\rangle \right)\\ |\psi_2\rangle =& e^{i\phi}\frac{1}{\sqrt{2}} \left(|a\rangle + |b\rangle \right)\\ |\psi_3\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|a\rangle + e^{i\phi}|b\rangle \right)\\ \end{align}
Doğrudan tanımından görebiliriz $\sim$ bunun üstünde
\begin{align} |\psi_1\rangle \sim |\psi_2 \rangle \end{align}
Yani bu şu anlama geliyor
\begin{align} \left[|\psi_1\rangle\right] = \left[|\psi_2\rangle\right] \end{align}
Yani, kets bile $|\psi_1\rangle$ ve $|\psi_2\rangle$ eşit değildir, temsil ettikleri devletler, $\left[|\psi_1\rangle\right]$ ve $\left[|\psi_2\rangle\right]$, Olan buna eşittir.
Ama çünkü $|\psi_3\rangle$ göreceli bir aşamayı içerir, genel olarak sahip olduğumuz
\begin{align} |\psi_3\rangle \nsim |\psi_1\rangle \end{align}
Yani genel olarak
\begin{align} \left[|\psi_3\rangle\right] \neq \left[|\psi_1\rangle\right] \end{align}
Bu durumda ketler $|\psi_1\rangle$ ve $|\psi_3\rangle$eşit değildir ve karşılık gelen durumlar $\left[|\psi_1\rangle\right]$ ve $\left[|\psi_3\rangle\right]$aynı zamanda eşit değildir.
Ancak, tüm bunlar fizikçiler için çok fazla ayrıntılı. Fizikçiler, notasyonu her zaman kötüye kullanırlar ve basitçe durumları tanımlarlar.$\left[|a\rangle\right] \in \mathcal{S}$ temsilcileriyle $|a\rangle$ve sadece yukarıda bahsedilen iki kuralı aklınızda bulundurun. Bu yüzden, kuantum mekaniğini yaparken, herhangi bir anda çalıştığınız şeyin gerçekten bir durumu temsil edip etmediğini veya sadece bir ket'i manipüle edip etmediğinizi aklınızda bulundurmalısınız. Bu kafa karıştırıcı olabilir, çünkü kuantum mekaniğindeki durumlar kets cinsinden yazılmıştır .
Yukarıdaki örneklere referansla, fizikçiler basitçe şunu söyleyecektir: $|\psi_1\rangle$ ve $|\psi_2\rangle$ aynı durumu temsil eder (1] her iki setin de normalize edildiği ve 2] yalnızca küresel bir fazla farklılık gösterdiği gerçeğiyle doğrulanır) $|\psi_3\rangle$ farklı bir durumu temsil etse de $|\psi_{1,2,3}\rangle$ teknik olarak kets ve buradaki tedavimde birbirinden ayrılan durumlar değil.
Dahası, kuantum mekaniğini tamamen kets cinsinden formüle etmenin mükemmel bir şekilde geçerli olacağını not edeceğim (tuhaf olduğu için sıfır ket hariç). Bu durumda, durumların gerçekten ketler tarafından temsil edildiğini söyleyebiliriz. Olasılıkların hesaplanmasından önce açık bir normalizasyon adımı eklemek için Born kuralını değiştirmemiz gerekir ve durumları taşırız.$|a\rangle$, $e^{i\phi}|a\rangle$ ve $\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle$herhangi bir fiziksel ölçüm için tam olarak aynı sonuçları veren bağımsız durumlar olarak. Bunun yerine, Fizikçiler eşdeğerlik ilişkisi fikrini sezgisel anlamda ama formalizm olmadan sözde benimserler. Bunun nedeni, fizikçilerin sezgisel olarak iyi çalışmaları ve tüm durumların normalleştirilmesi gerektiğini ve küresel bir aşamaya göre farklılık gösteren durumların eşdeğer olduğunu söylemekten mutlu olmalarıdır.
OP ile biraz bağlantı kurmak için: OP'nin fiziksel durumlar dediği şeye, durumlar diyorum ve OP'nin temel dediği durumlar, kets diyorum. Burada dilimin bir gelişme olduğunu düşünüyorum. Özellikle durumları tanımlamak için kullandığımız ketlerin belirli bir temelden bir araya getirilmesine gerek olmadığı için. Bir devlet tanımlayabilirim$|\psi\rangle = |\uparrow\rangle + |+\rangle$ nerede $|\uparrow$ aşağıdakilerden seçilen bir dönüş durumudur $z$- spin için temel ve $|+\rangle$ içindeki dönüş durumu $x$temel. Mesele şu ki, durumları yazdığımızda bunu kets kullanarak yapıyoruz.
Soruyu yanıtlamak için: "Sorum şu: Bir şeyleri tanımlamanın doğru ve titiz yolu nedir?" Yukarıda, durumların kets üzerinde denklik sınıfları olarak temsil edilmesi açısından yeterli bir cevap verdiğimi düşünüyorum.
Bu başlığın başlığı olan soruyu yanıtlamak için: "Aşamanın QM'de ne zaman bir rol oynadığını veya oynamadığını çok kesin bir şekilde açıklamak". Bir faz faktörü ile farklılık gösteren setler aslında farklı setlerdir. Yalnızca bir faz faktörü ile farklılık gösteren ketler tarafından temsil edilen durumlar farklı durumlar DEĞİLDİR.
Düzenleme: Burada yeniden tanımladığım yansıtmalı Hilbert uzayı tanımına baktım . Eşdeğerlik ilişkisini şu şekilde tanımlayarak daha düzgün tanımlayabiliriz gibi görünüyor.$|a\rangle \sim |b\rangle$ eğer varsa $z \in \mathbb{C}$ ile $|a\rangle = z|b\rangle$. Bu, normalleşmeyi ve küresel aşamayı bir çırpıda kapsar. Tanımımı ve metnimi yukarıda bırakacağım çünkü bir devlet oluşturmak için farklı aşamalara sahip kümeleri bir araya getirme konusunda endişeliysek, bir devlet oluşturmak için farklı normların kümelerini bir araya getirme konusunda da endişelenmemiz gerektiğini vurguladığını düşünüyorum. Elbette cevabım, aslında bunların hiçbiriyle ilgilenmemize gerek olmadığını gösteriyor.
Genel bir aşama, Hilbert uzayında vektörün normunu koruyan bir aşamadır. Bu, korunan iç ürünlere genelleşir. Kuantum durumları Hilbert uzayındaki vektörlerdir ve tüm ölçümler nihayetinde Hilbert uzayındaki vektörleri gerçek sayılarla eşleyen içsel ürünlerdir. Böylece, genel bir aşama zorunlu olarak iç ürünleri koruduğundan, fiziksel ölçümler etkilenmez.
Genel aşamalar, aşağıdaki türden dönüşümlerdir: $$|\psi\rangle\to e^{i\phi}|\psi\rangle$$ Kolayca görülebileceği gibi, norm korunmuştur.
Şimdi durumumuzun aslında iki farklı durumun süperpozisyonu olduğunu düşünün: $$|\psi\rangle= c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle$$ Orijinal durumumuzun $|\psi\rangle$durumların tam olarak bu doğrusal kombinasyonu$|\phi_1\rangle$ ve $|\phi_2\rangle$.
Şimdi sisteme rastgele ekstra faz ekleyelim: $$c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle\to c_1 e^{i\theta_1}|\phi_1\rangle+ c_2 e^{i\theta_2}|\phi_2\rangle $$ İç ürünü korumanın, yani orijinal halin iç ürününü geri almanın tek yolu şudur: $\theta_1=\theta_2$ $$c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle\to e^{i\theta_1}\Big(c_1|\phi_1\rangle+ c_2|\phi_2\rangle\Big) = e^{i\theta}|\psi\rangle$$ Bu genel bir aşamadır.
Hesaplıyorum $\langle X |Y \rangle$ve karmaşık bir sayı buluyorum. Aşamasını değiştirebilir miyim$Y$ sonunda numaram pozitif olacak mı?
İç üründe yapılan herhangi bir değişiklik, durumu değiştirdiğiniz anlamına gelir ve iki durum iki farklı fiziksel sisteme karşılık gelir.
Çift yarık deneyi örneğini düşünün. Faz farkı , iki farklı yollara karşılık gelen iki durum arasındaki girişim desenine götürdüğüdür. Yarık genişliği değişikliklerini değiştirmek, değişmeyen yarık genişliğimize kıyasla yollar arasında ekstra bir faz farkı ortaya çıkarır. Bu, girişim modelinin değiştiği anlamına gelir. Farklı bir fiziksel duruma yol açar.
Öte yandan, tüm sistemi bir açı ile döndürüp diğer her şeyi değiştirmeden bırakırsak, son model genel bir açı ile döndürülmüş olsa da değişmez. Bu, genel aşamanın etkisidir.
Burada zaten pek çok iyi cevap var, ancak yine de ekleyebileceğiniz, sorunu açıklığa kavuşturmaya yardımcı olabilecek birkaç küçük şey var.
Kuantum teorisinin amacı, bir deneyde ne gözlemleneceğini hesaplamaktır. Bu tür hesaplamalar formdadır$\langle \psi | \hat{O} |\psi\rangle$, nerede $\hat{O}$gözlemlenebilir olanı temsil eden bir operatördür. Zaten burada, küresel bir aşamanın birbirini götürdüğünü ve dolayısıyla hesaplamanın sonucunu etkilemeyeceğini görebilirsiniz.
Kuantum teorisinin bu amacı nedeniyle, bir kuantum durumu genellikle bir yoğunluk operatörü olarak temsil edilir. Saf hal için$$ \hat{\rho} = |\psi\rangle \langle \psi |$$ ve gözlem artık izleme izi ile hesaplanır.$\{\hat{\rho}\hat{O} \}$.
Global fazın yoğunluk operatöründe iptal edileceğini unutmayın. Bununla birlikte, ketin genişlemesinde var olan göreceli fazlar kalacaktır. Tüm fiziksel kuantum durumlarının bu tür yoğunluk operatörleri açısından temsil edilebileceği ve bu nedenle küresel fazın hiçbir gözlem için fiziksel bir fark yaratmadığı iddia edilebilir.
Peki ya göreceli aşamalar? Genişlemeye yeni bir terim eklendiğinde küresel bir aşama göreceli bir aşama olmaz mı? Burada doğanın nasıl çalıştığını düşünmemiz gerekiyor. Kuantum durumları, bazı üniter süreçlere göre evrilir. Bunun anlamı, kuantum halinin, o uzayın temeli açısından genişletilebileceği bir Hilbert uzayında yaşadığıdır. Bu temel asla değişmez. Bütün bu tek evrimin yaptığı, genişlemedeki tüm temel unsurların ağırlıklarını veya katsayılarını değiştirmektir.
Üniter evrim, başlangıçta sıfır olduktan sonra bir temel elemana sıfır olmayan bir katsayı verebilir. O zaman bu unsurun genişlemeye eklendiğini düşünebiliriz. Bununla birlikte, sürecin tekliği, diğer öğenin katsayılarının da değişmesini gerektirecektir. Sonuç olarak, diğer unsurların göreceli fazı, değişimden önceki durumun küresel bir aşaması olarak ayırt edilemeyecektir. Umarım bu mantıklıdır.