Aşkın bir unsur tarafından bir alan uzantısının derecesi

Question

İzin Vermek $F$ alan ol ve izin ver $F(x)$ polinom halkasının fraksiyonlarının alanı $F[x]$. Alan uzantısının derecesi ile ilgileniyorum$[F(x) : F]$. Açıkçası sonsuzdur, ama esas niteliği tam olarak nedir? bu mu$\aleph_0$? Alana bağlı mı$F$?

Answer 1

Doğal $F$-Temelinde $F(x)$ dır-dir $$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$ Böylece (için $F$ sonsuz) temelin esas niteliği aşağıdakiler arasında oluşur: $F$ ve $F[x]^2$yani. aynı$F$.

Answer 2

Herhangi bir sonsuz alan için $F$, $F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$ eşit önemdedir $F$ve bir örten haritalama var $F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$ veren $(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$ (nerede $(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Dan beri$F[x] \times (F[x])^*$ eşit önemdedir $F[x]$sonuç aşağıdaki gibidir.

Eğer $F$ sonlu $F[x]$ sayılabilir bir şekilde sonsuzdur ve yukarıdaki ile aynı mantıkla, $F(x)$ sayılabilir bir şekilde sonsuzdur.