Ayırt etmek mümkün mü $\sin x$ göre $\cos x$ ilk ilkelerden?

Question

Bugün bir Üniversite giriş sınavı için alıştırma problemi yapıyordum, burada farklılaşmamı istedim $\sin x$ göre $\cos x$. Bulduğum çözüm zincir kuralını kullandı:

\begin{align} \frac{d\sin x}{d\cos x}&=\frac{d\sin x}{dx}\cdot\frac{dx}{d\cos x} \\ &=\cos x\cdot\frac{1}{-\sin x} \\ &=-\cot x \end{align}

Bununla birlikte, bu problem hakkında ne kadar çok düşünürsem, beni o kadar rahatsız hissettirdi. Mümkünse, bir işlevi başka bir işleve göre ayırt etmenin ne anlama geldiğini gerçekten anlamıyorum. Bu yüzden ayırt etmeye çalıştım$\sin x$ göre $\cos x$ ilk ilkelerden, ne ile çalıştığımı bildiğim için

$$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\lim_{h \to 0}\frac{\sin (\cos x+h)-\sin(\cos x)}{h} $$

Bunun arkasındaki fikir tedavi etmekti $\cos x$tıpkı diğer herhangi bir değişken gibi. Ancak bu bana yanlış cevabı verdi$(\cos \circ \cos)(x)$ve nedenini anlayamıyorum. Bir işlevi başka bir işleve göre ayırt etmenin ne anlama geldiğine dair sezgisel bir düşünme yolu var mı?

Answer 1

Bir değişikliği ölçmek istiyorsunuz $\sin{x}$ bir değişiklikle ilgili olarak $\cos{x}$. Yani istiyorsun$\sin{x}$ bir fonksiyonu olarak $\cos{x}$ile aynı şey değil $\sin(\cos{x})$. İşte senin temel sorunun var.

Ne istiyorsun: eğer $x \in [0, \pi]$, sonra $\sin{x} = \sqrt{1 - \cos^2{x}}$, ve bu yüzden \begin{align*} \frac{d(\sin{x})}{d(\cos{x})} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{1 - (\cos{x} + h)^2} - \sqrt{1 - \cos^2{x}}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{[1 - (\cos{x} + h)^2] - (1 - \cos^2{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \lim_{h\to 0} \frac{-h(h + 2\cos{x})}{h(\sqrt{1 - (\cos x + h)^2} + \sqrt{1 - \cos^2{x}})} \\ &= \frac{-2\cos{x}}{2\sqrt{1 - \cos^2{x}}} = -\frac{\cos{x}}{\sin{x}} = -\cot{x} \end{align*} istediğiniz gibi.

Egzersiz: ne zaman olur $x \in [\pi, 2\pi]$?

Answer 2

Ayarlamak $y=\cos x$, bundan dolayı $x\in[0,\pi]$, $$ \frac{d\sin x}{d\cos x}=\left.\frac{d\sin(\arccos y)}{dy}\right|_{y=\cos x}=-\left.\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right|_{y=\cos x}=-\frac{\cos x}{\sin x}=-\cot x, $$ Limit gelince, yazmalısın $$ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(y+h)-\sin(\arccos(y))}{h}=\\ \lim_{h\to0}\frac{\sin(\arccos(\cos x+h)-\sin x}{h}. $$