Bağımlı vektörler nasıl afinely (in) bağımlı vektörler $\mathbb R^n$ uzayda düzenlenmiş mi?

Question

Sonlu bir vektör kümesi düşünün $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Bu küme doğrusal olarak bağımsızdır, eğer $\sum_k \alpha_k v_k=0$ ima eder $\alpha_k=0$. Geometrik olarak, doğrusal bağımlılığı, başlangıç ​​noktasından geçen bir hiperdüzlemde bir dizi vektörün bulunduğunu belirtmek olarak anlıyorum.

Öte yandan şunu söylüyoruz $\{v_i\}_i$Hangi affinely bağımlı olmadığını$\sum_k \alpha_k v_k=0$ için $\alpha_k$hepsi sıfır değil ve öyle ki$\sum_k\alpha_k=0$. Bir küme olduğunda görselleştirmek için benzer bir geometrik sezgi var mı?$\{v_i\}_i$ afin bir şekilde bağımlı / bağımsız mı?

Answer 1

Doğrusal (iç) bağımlılık tanımlamanız pek doğru değil. Her vektör kümesi, orijine, yani yayılma alanına doğru bir tür hiper düzlemde yer alır.

Bunun yerine, sonlu bir vektörler kümesinin, boyutu kümedeki vektörlerin sayısından daha az olan orijinden geçen bir hiperdüzlemde yer almaları halinde doğrusal olarak bağımlı olduklarını söyleyebilirim.

Ve benzer şekilde, sonlu bir nokta kümesi $\mathbb R^n$boyutu kümedeki nokta sayısı eksi 1'den daha az olan bir alt düzlemde yer alıyorsa, afin bir şekilde bağımlıdır . Dolayısıyla, bir doğru üzerindeki 3 farklı nokta afin bir şekilde bağımlıdır, ancak bir doğru üzerindeki 2 farklı nokta afin bir şekilde bağımsızdır.

Afin bağımsızlığının başka bir güzel geometrik resmi var:

• bir çizgi parçasının bitiş noktası kümesiyse, bir çift nokta afin bir şekilde bağımsızdır (bu, yalnızca ve ancak bu çiftteki iki nokta eşit değilse oluşur)
• bir üçgenin köşe kümesiyse, üçlü nokta afinely bağımsızdır
• dört nokta bir tetrahedronun köşe kümesi ise afinely bağımsızdır
• a $k$-tuple of points, eğer bir 'nin köşe kümesi ise afinely bağımsızdır. $k-1$boyutlu simpleks .

Answer 2

@ Pist44'ün dediği gibi, afin bir şekilde bağımlı "hepsi hiper düzlemde" anlamına gelir, ancak muhtemelen orijini içermeyen bir hiper düzlem. Bunu hızlı bir şekilde görmek için,$k+1$ vektörler $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ ile $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ ve çıkar $v_0$ her birinden $v_1, \ldots, v_k$ almak $w_1, \ldots, w_k$.

Sonra vektörler $w_k$tümü, başlangıç ​​noktasından geçen paralel bir hiper düzlemde uzanır. (Bunu kendiniz kurmak için cebir yapmaya değer).

Ya da daha klasik bir biçimde ifade edersek, $v_0$ yeni bir koordinat sisteminin başlangıcı olarak, sonra kalan $v_i$ vektörlerin tümü bir hiper düzlemde bulunur.