Bağlı Yerel Olarak Bağlı Kümelerin Karakterizasyonu

Question

$T_1$ Uzay $X$ her açık kapak için hem bağlı hem de yerel olarak bağlı $\{U_\alpha\}$ nın-nin $X$ ve bir çift nokta $x_1,x_2$ nın-nin $X$sonlu bir dizi var $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ ve bir dizi bağlı açık alt küme $V_1,\cdots,V_n$ öyle ki

1. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
2. $V_i\cap V_j\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$
3. $V_i\subseteq U_{\alpha_i}$ hepsi için $i=1,\cdots,n$

Şimdi bağlantı için $X$buna sahibiz $x_1,x_2$ nın-nin $X$ ve kapağı aç $\{U_\alpha\}$bir dizi alabiliriz $U_{\alpha_1},\cdots,U_{\alpha_n}$ kapaktan öyle ki

1. $x_1\in U_{\alpha_1}$, $x_2\in U_{\alpha_n}$
2. $U_{\alpha_i}\cap U_{\alpha_j}\neq\varnothing$ iff $|i-j|\leq1$

Aynı zamanda $X$ yerel olarak bağlıdır, açık bir kümenin her bileşeni açıktır.

Şimdi inanıyorum ki $V_i$ bileşenleri gereklidir $U_{\alpha_i}$, uygun şekilde seçilerek Koşullar $1$ ve $2$ambar. Bu durum otomatik olarak ilgilenir$3$. Ancak bunu gösteremedim. Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır!

Answer 1

İzin Vermek $X$"açık kapak koşulunu" karşılayın. Sonra$X$ bağlı çünkü herhangi ikisi $x_1, x_2 \in X$ bağlı bir alt kümesinde yer alır $X$ (birliği al $V_i$). Bunu göstermek için$X$ yerel olarak bağlı, izin ver $x_1 \in X$ ve $U_1$ açık bir mahalle olmak $x_1$. Bağlı bir açık mahalle bulmalıyız$V_1$ nın-nin $x_1$ öyle ki $V_1 \subset U_1$. Set$U = X \setminus \{x_1\}$ o zamandan beri açık $X$ dır-dir $T_1$( ihtiyacımız olan tek yer burası$T_1$-gereksinim). Bu nedenle$\mathcal U = \{U_1, U\}$ açık bir kapak $X$. Herhangi birini seç$x_2 \in X$ (Eğer istersen $x_2 = x_1$). Bir dizi bağlı açık var$V_i$senin durumundaki gibi. Sahibiz$x_1 \in V_1$. Dahası,$V_1$ şunun bazı üyelerinde bulunur $\mathcal U$. Dan beri$x_1 \in V_1$bu imkansız $V_1 \subset U$. Böylece$V_1 \subset U_1$.

Şimdi konuşmayı kanıtlayacağız. Aşağıdakilerle başlayalım

Lemma: Bırak $M_1,\ldots, M_r$ alt kümeleri olmak $X$ öyle ki $M_i \cap M_{i+1} \ne \emptyset$ için $i =1,\ldots,r-1$. Sonra bir alt küme var$\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ öyle ki $1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ ve $M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ iff $\lvert i - j \rvert \le 1$.

Kanıt: Çağrı $\{k_1,\ldots,k_n\} \subset \{1,\ldots,r\}$ eğer güzel$1 = k_1 < k_2 <\ldots k_{n-1} < k_n=r$ ve $M_{k_i} \cap M_{k_{i+1}} \ne \emptyset$ için $i = 1,\ldots,n-1$. Açıkça$\{1,\ldots,r\}$Güzel. Var güzel$\{k_1,\ldots,k_n\}$ile minimum$n$ (muhtemelen $n = r$). Varsaymak$M_{k_i} \cap M_{k_j} \ne \emptyset$ bazı çiftler için $(i,j)$ öyle ki $\lvert i - j \rvert > 1$. Wlog varsayabiliriz$i < j$. Sonra$\{k'_1 = k_1,\ldots,k'_i = k_i,k'_{i+1} = k_j,\ldots,k'_{n+1-(j-i)} = k_n\}$ ile güzel $n+1-(j-i) < n$bir çelişki.

Lemma, "açık kapak durumunda" 2. yerine (sadece görünüşte) daha zayıf koşul koyabileceğimizi gösteriyor. $$V_i \cap V_{i+1} \ne \emptyset, i =1,\ldots,n-1 .$$ İzin Vermek $\mathcal U$ açık kapak olmak $X$. İçin$x_1,x_2 \in X$ tanımlamak $x_1 \sim x_2$ Bağlı açık alt kümelerin sınırlı bir dizisi varsa $V_1,\cdots,V_n$ öyle ki

1. Her biri $V_i$ bazılarında bulunur $U_{\alpha_i} \in \mathcal U$.
2. $x_1\in V_1$, $x_2\in V_n$
3. $V_i\cap V_{i+1} \neq\emptyset$ için $i = 1,\ldots,n-1$

$\sim$bir denklik ilişkisidir. Yansıtma yerel bağlılıktan kaynaklanır (her biri$x$ bazılarında bulunur $U \in \mathcal U$şimdi al $n=1$ ve $V_1$ herhangi bir bağlı açık öyle ki $x \in V_1 \subset U$). Simetri ve geçişlilik açıktır.

Eşdeğerlik sınıfları $[x_1]$ göre $\sim $ açık: Eğer $x_2 \in [x_1]$bir dizi bulduk $V_i$yukarıdaki gibi. Ama sonra belli ki$x_2 \in V_n \subset [x_1]$. Dolayısıyla eşdeğerlik sınıfları,$X$ikili ayrık açık kümeler halinde. Dan beri$X$bağlı, yalnızca bir eşdeğerlik sınıfı olabilir. Böylece herhangi ikisi$x_1,x_2 \in X$ ispatı bitiren eşdeğerdir.

Answer 2

Gelen bu cevabın ben bağlanmışlık zincir karakterizasyonu verir. Önce onu okuyun. Bende "iff" yok$|i-j| \le 1$"orada bir bölüm, ancak bu, $T_1$-nin $X$, kanıtı kontrol edin. Ben şahsen ayırma aksiyomlarını bu şekilde karıştırmayı sevmiyorum.

Eğer $X$ bağlı ve yerel olarak bağlı, izin ver $\{U_{\alpha \in A}\}$ açık kapak olmak $X$. Sonra her biri için$x \in X$ sahibiz $\alpha_x$ ve açık bağlı $V_x$ öyle ki $x \in V_x \subseteq U_{\alpha_x}$. Ardından, bağlılığın zincir karakterizasyonunu uygulayın.$X$ -e $\{V_x: x \in X\}$ ve biz bir yön gösterdik, bu örtünün varlığını bağlılıktan ve yerel bağlılıktan.

Nasıl kanıtlanır $X$bağlı ve yerel olarak "değiştirilmiş zincir durumundan" bağlı mı? Koşulları doğrudan kapağa uyguladığımız için bağlantı kurmak kolaydır$\{U,V\}$ ne zaman $U,V$ bağlantısının kesilmesi $X$.

Dahası, bırak $O$ açık ol, $p \in O$ ve izin ver $C$ bileşeni olmak $p$ içinde $O$. Gerçeği açık kapağa uygulayın$\{O,X\setminus \{p\}\}$ nın-nin $X$. İçin$y \in C$ ve $p$ açık ve bağlantılı buluyoruz $V_1,\ldots V_n$ öyle ki $p \in V_1$, $q \in V_n$ ve $V_i \subseteq O$ veya $V_i \subseteq X\setminus \{p\}$ hepsi için $i$ ve bitişik $V_i$kesişir. Aslında "zincirin" uzunluğu olmalıdır$2$ eğer düşünürseniz (!) $n=2$. Ama sonra$V_1 \cup V_2$ bağlı ve bir alt kümesi $O$ ve bunu gösterir $q$ bir iç noktasıdır $C$ ve $X$ yerel olarak bağlı.