Beklenti hesaplamasıyla ilgili bir soru [tekrar]

Aug 18 2020

İzin Vermek $X$ ve $Y$ iki rastgele değişken olabilir.

Bir kitap durumu fark ettim $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ kanıtsız.

Bence en basit durum için kanıt şu olabilir: - $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

Ama Y için karşılık gelen olasılıklar ise ne olur? $q_i$ ve $p_i \ne q_i$ Genel olarak?

Yanıtlar

1 tommik Aug 18 2020 at 15:59

Not : basitlik uğruna yazacağım$f(x,y)$ onun yerine $f_{XY}(x,y)$. Aşağıdaki kanıt sürekli durumdadır, ancak benzer kanıt ayrı durumda veya genel olarak

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

EDIT: Ayrık durum

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$