Belirsiz form için temel örnek $1^\infty$

Dec 31 2020

Henüz sınıfta logaritma görmemiş parlak bir ortaokul öğrencisiyle matematikten bahsediyorum. (Günlükleri üslenmenin tersi olarak başarıyla sunduk.) Bu video ve belirsiz formlar onun ilgisini çekiyor. Nasıl olduğunu tartıştık "$1^\infty$"gerçekten aynıdır"$0/0$".

Şimdi bir örnek tartışmak istiyorum "$1^\infty$". Ne yazık ki, her örnek ben kadar gelebilir ve her şey, internette kullanım alanları bulmak o$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ gibi $t\to 0$ya " iyi bilinen bir gerçek " ya da L'Hospital kuralının bir uygulaması - her ikisini de tatmin edici bulmuyorum.

"İçin önemsiz olmayan bir örnek var mı?"$1^\infty$"belirsiz biçim (yani, sadece $1^t$ için $t\to\infty$.

Yanıtlar

2 OscarLanzi Dec 31 2020 at 21:54

Klasik örneği kim unutabilir:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

Eğer genişlersek $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ Binom Teoremi ile ve terimleri karşılık gelen güçlerle karşılaştırın $1/n$ farklı değerler için $n$, bu işlevin arttığını görüyoruz $n$ sınırsız artar, ancak fonksiyon yakınsak serilerle sınırlıdır

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

Dolayısıyla sınırın var olması garanti edilir ve bu nedenle şu şekilde tanımlanabilir: $e$hangi kuraldan $[\ln(1+x)]/x\to1$ gibi $x\to 0$ takip eder.

5 StinkingBishop Dec 31 2020 at 21:14

Neden düzeltmiyorsun $k>0$ (Örneğin $k=2$) ve bak $(k^{1/n})^n$?

Sezgisel olarak oldukça açık $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ gibi $n\to\infty$; Öte yandan, açıkça$n\to\infty$ ne zaman $n\to\infty$. Böylece dava var$1^\infty$ aslında yakınsayan $k$ (ve sadece yakınsamaz $k$ancak sabittir ), bununla başlamak için keyfi olarak seçtiğiniz.

Şimdi bunu genişletmek kolay $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ veya $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$yakınsayan $0$ ve $\infty$ (bir sırayla, sürece $k\ne 1$).

3 J.G. Dec 31 2020 at 21:14

Arıyoruz $f,\,g$ ile $f\to1,\,g\to\infty$olarak söyle $x\to0$, Böylece $f^g$ herhangi bir limite sahip olabilir $L\in[0,\,\infty]$veya hiçbiri. Örnekler:

  • $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ için $L>1$
  • $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ için $L\in(0,\,1)$
  • $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ için $L=1$
  • $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ için $L=0$
  • $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ için $L=\infty$
  • $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ için $\lim_{x\to0}f^g$ tanımsız olmak.

Yedek $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ gösterir $1^{-\infty}$ aynı şekilde çalışır, ancak kimse ayrı ayrı listelemez.