Bir Çakışmayı Çözme - çözümdeki bir adımı anlayamıyorum [yineleme]

Question

Congruences & Number Theory'de yeni

Aşağıda Joseph H. Silverman: Sayı Teorisine Dostça Giriş , 4. Baskı, bölüm 8, sayfa 56 kitabından bir metin bulunmaktadır .

---

Çözmek için

$4x\equiv 3 \pmod{19}$

iki tarafı da çarpacağız $5$. Bu verir

$20x\equiv 15 \pmod{19}$ - Aşama 1

Fakat $20\equiv 1\pmod{19}$, yani $20x\equiv x\pmod{19}$ - Adım 2

Böylece çözüm

$x\equiv 15\pmod{19}$

---

2. adıma kadar anlıyorum, Adım 2'deki çözüme nasıl ulaşıldığını anlayamıyorum.

Nasıl

$20x\equiv x \pmod{19}$
yol açmak
$x\equiv 15 \pmod{19}$

Neredeydi $20$LHS gitmek? Nasıl$x$ RHS'de yerine $15$?

Answer 1

Sanırım buradaki mesele, uyumun temel özellikleriyle ilgili.

Birçok önemli yönden uyum, tam olarak eşitlik gibi davranır. Yani, üç kritik özelliği karşılar:

$1)$ Dönüşlü: $a\equiv a \pmod n$.

$2)$ Simetrik: $a\equiv b \pmod n\iff b\equiv a \pmod n$

$3)$ Geçişli: $a\equiv b\pmod n$ ve $b\equiv c\pmod n$ ima etmek $a\equiv c \pmod n$.

Bunların her biri, uygunluğun temel tanımından kolayca takip eder.

Bu üç özellik birlikte, uyumu bir https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation. Bu başlı başına önemli bir fikir .., birçok yönden Eşitlik ile çalıştığınız gibi Eşdeğer İlişkiler ile de çalışabilirsiniz. Verilen hesaplamada olan budur.

Bu durumda sizde $$20x\equiv x\pmod {19}\quad \&\quad 20x\equiv 15\pmod {19}$$ Simetrik Özelliği ve Geçişli Özelliği birleştirmek bize $x\equiv {15}\pmod {19}$.

Her zamanki gibi, yine de önemli olan genel prensiptir. Bu üç özellik, kongrelerin neden bu kadar yararlı ve önemli olduğudur ... neden tuttuklarını anladığınızdan emin olun.

Answer 2

Bunu vurgulayacağım $\gcd(5,19)=1$. Dan beri$5$ katsayı ile çarpılır. $5$çözümleri değiştirmez, bu nedenle bu iki eşleşme eşittir ¹

$$4x\equiv3\pmod{19} \Longleftrightarrow 20x\equiv15\pmod{19}$$

Şimdi beri $x\equiv20x\pmod{19}$, ikincisi eşdeğerdir $x\equiv15\pmod{19}$.

---

Buradaki yorumlar (ve diğer cevaplar) asıl sorunun bu olduğunu netleştirdiğinden, son denkliği ayrıntılı olarak hecelememe izin verin. (Hem simetriyi hem de geçişliliği özgürce kullanacağım.)

• $x\equiv20x\pmod{19}$ ve $20x\equiv15\pmod{19}$ ima eder $x\equiv15\pmod{19}$
• $20x\equiv x\pmod{19}$ $x\equiv15\pmod{19}$ ima eder $20x\equiv15\pmod{19}$
• Yani ikisine de sahibiz $$20x\equiv15\pmod{19} \Longrightarrow x\equiv15\pmod{19}$$ ve $$x\equiv15\pmod{19} \Longrightarrow 20x\equiv15\pmod{19}$$ bize denkliği veren $x\equiv15\pmod{19} \Longleftrightarrow 20x\equiv15\pmod{19}$.

---

¹ Örneğin bkz .:

• https://math.stackexchange.com/q/1845718
• https://math.stackexchange.com/q/1752523

---

Bir yan not olarak, aşağıdaki gibi sohbet odalarının varlığından bahsedeceğim. https://chat.stackexchange.com/transcript/12070 ve https://chat.stackexchange.com/transcript/77161. Ve ayrıcahttps://chat.stackexchange.com/transcript/36. Ayrıca bakınız:https://math.meta.stackexchange.com/q/26814#26817. (Bunu esas olarak, yorumlarda çok sayıda alışverişiniz olduğunu gördüğüm için söylüyorum. Çok fazla yorum varsa, bu, sohbette tartışmanın daha uygun olabileceğinin bir işareti olabilir.)

Answer 3

İyi, $20\equiv 1 \mod 19$ ve bu yüzden $20\cdot x\equiv 1\cdot x\mod 19$.

Gerisi bunu nasıl açıkladığın: Çarpma $4x\equiv 3\mod 19$ tarafından $5$ her iki tarafta da verir $20x\equiv 15\mod 19$yani $x\equiv 15\mod 19$.

Answer 4

Buradan

$$20x\equiv 15 \mod19$$

bizde var

$$20x=19x+x \implies 20x\equiv x \mod19$$

bu nedenle

$$20x\equiv x\equiv 15 \mod19$$

Aslında tanımı gereği

$$a\equiv b \mod n \iff a-b=kn$$

bu nedenle $20x\equiv x \mod 19 $ dan beri $20x-x=19x$.

Answer 5

ou, 1. adımda sonuçlanan ilişkinin taraflarını 2. adımda sonuçlanan ilişkinin tarafları olarak bölebilir:

$\frac{20x}{20x} ≡ \frac {15} x \mod (19)$

⇒ $1 ≡ \frac {15} x \mod (19)$

⇒ $x ≡ 15 \mod (19)$