Bir devlet ve marjinalleri arasındaki maksimum göreceli entropi
Arka fon
Kuantum göreli entropi, herhangi bir kuantum durumu için tanımlanır $\rho, \sigma$ gibi
$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$
Keyfi seçim için $\rho,\sigma$kuantum göreli entropi, herhangi bir negatif olmayan değeri alabilir. İki taraflı bir durumu düşünün$\rho_{AB}$ ve marjinalleri olsun $\rho_A$ ve $\rho_B$. Düşünürsek$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$karşılıklı bilgiye sahibiz. Üstelik buna sahibiz
$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$
Soru
Göreceli entropinin tek atımlık analoğu, maksimum göreceli entropidir ve şu şekilde tanımlanır:
$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$
nerede $A\geq B$ bunu belirtmek için kullanılır $A-B$pozitif yarı kesin. Sıradan göreli entropi gibi, maksimum göreceli entropi de herhangi bir negatif olmayan değeri alabilir. Şimdi düşünürsem$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, alabileceği maksimum değerde bir üst sınır var mı?
Durumdan beri cevabın evet olduğuna inanıyorum $+\infty$ desteği nedeniyle dışlandı $\rho_{AB}$ desteğinde bulunmak $\rho_A\otimes\rho_B$ ama bir sınır bulamadı.
Yanıtlar
$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ Karşılıklı bilgi sınırını doyuran bir durum $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ nerede $N = \min(|A|,|B|)$ ve $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ temeller $A,B$, sırasıyla. Sezgisel olarak, bu durum marjinallerin entropisini en üst düzeye çıkarırken,$A$ ve $B$ mükemmel korelasyon.
Bu durum verir $I_{\max} = \log_2(N)$. Bunun bir üst sınır olduğunu kanıtlamadım, ancak başlamak için iyi bir yer gibi görünüyor.