Bir devredeki komşu olmayan kübitlere matematiksel olarak bir CNOT işlemi yazmanın iyi bir yolu var mı? [çiftleme]

Question

Genellikle tek kübit işlemlerini sunduğumuz için CNOT matrisini sunmanın bir yolu olup olmadığını merak ediyordum.

$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$

Bir devredeki bitişik kübitler için onu aynı şekilde sunabileceğimizi biliyorum

$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$

Ancak, komşu olmayan kablolara etki eden birkaç CNOT varsa, işlemi matematiksel olarak sunmanın bir yolu var mı?

Answer 1

Yalnızca soyut devre temsiline atıfta bulunuyorsanız, o zaman temelinizi, CNOT'larda yer alan tüm kübitlerin etiketinize göre "bitişik" olacak şekilde yeniden sıralayabilirsiniz. Örneğin, temel şu şekilde sıralanırsa$1,2,3$ve 1. ve 3. kübit arasında bir CNOT yapmak istiyorsanız, o zaman şöyle bir şey yazarsınız:

$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$

şimdi temelin sipariş edildiği yer $1,3,2$. Ancak temeli yeniden düzenlemek istemiyorsanız, CNOT'u yazmanın başka bir yolu da var:

$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$

ikinci kübitin durumuna benzer bir kimlik içerebilir

$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$

CNOT'un eylemi operasyonların ürününe dönüşmemesi gerektiğinden, bu artık sadece üniterlerin bir ürünü değil.

Answer 2

Şahsen ben kendimi bir gösterim olarak tanımlıyorum. Örneğin, yazdığınız NOT yerine,$X_n$ olmak $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ Benzer şekilde, daha sonra tanımlayabilirim $CNOT^i_j$ kontrollü-kontrolsüz kapalı olmak $i$ ve hedefleme $j$. Bunu tensör ürünler olarak yazmam gerekseydi, muhtemelen şöyle bir şey yapardım$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ varsaymak $j>i$.