Bir eğrilik denklemi verildiğinde, uygun parametrik denklem ailesi nasıl bulunur?

Question

Belirli bir eğrilik için parametrik denklemleri bulma konusunda özel durumlar için burada birkaç soru ve yanıt gördüm. Örneğin; Verilen eğriliğe sahip bir eğri için parametrik denklemi bulun . Ancak korkarım genel süreci anlamıyorum. Biri süreç boyunca bana rehberlik edebilir mi?

Formun parametrik denklemlerini önemsiyorum

$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$

Dolayısıyla eğriliği imzaladı

$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$

Benim sorum şu

İçin denklem verildiğinde $\kappa(s)$için çözüm ailesini nasıl bulursunuz $\gamma(s)$?

Tatmin edici benzersiz bir eğri olduğunu varsayıyorum $\kappa(s)$nihai çözümün üç sabiti olsa da, $x_0$, $y_0$, ve $\theta$Bu, sezgisel olarak, eğriliğin tüm eğrinin ötelenmesini veya dönmesini önemsemediği için, bu tür bir eğrinin keyfi bir ötelemesini ve dönüşünü (veya bazı eşdeğerlerini) kodlayacaktır.

Son bir not olarak, ben sadece aşırı iyimser bir lisans öğrencisiyim ve bu nedenle sadece birinci dereceden diferansiyel denklemlerle akademik olarak uğraştım ve sadece kendi kendime eğriliği öğrettim. Her şeye rağmen, kavramsal olarak her birini anlıyorum. Bu nedenle, kabaca anlayış seviyeme göre bir cevabı takdir ediyorum.

Answer 1

Sadece gelişigüzel bir dönüş ve öteleme değil, aynı zamanda eğrinin bir yansıması ve parametrizasyonu da vardır. Bu nedenle, her şeyden önce , eğriliğin tanımının olduğu standart yay uzunluğu parametrizasyonunu alın$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ nerede $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ teğet vektör ve $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$normal vektördür. İkincisi yalnızca bir işarete kadar tanımlanır, bu nedenle birinin keyfi olarak birini seçmesi gerekir. Bu eğrinin elini, yani yansımayı düzeltir.

Dolayısıyla çözülecek diferansiyel denklem $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ İkinci dereceden bir denklem olarak, bu dört sabit integral vermelidir, ancak ark uzunluğu kısıtlaması vardır. $(x')^2+(y')^2=1$, bu nedenle gerçekte geriye sadece üç sabit kalır: ikisi ötelemeler ve biri döndürme için.

Answer 2

Ben de söylediğim gibi "Ben sadece akademik birinci dereceden diferansiyel denklemler uğraştım" Kendi sorusuna bu cevabı kusurları ile aşıldı olabilir bu yüzden, ama bu genel formu aradığım (sanırım) 'dir. Analiz için Chrystomath'a çok teşekkürler.

Eğer $(x')^2+(y')^2=1$, sonra

$$\kappa=x'y''-y'x''$$

Ayrıca, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$

$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$

İzin Vermek $u=x'$

$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

Benzer mantıkla aşağıdaki

$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$

Bu nedenle, parametrik denklem bulunabilir (geleneksel olarak takas $\sin$ ve $\cos$) olmak

$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$

Chrystomath'ın öngördüğü gibi, bakın: üç sabit (ikisi çevirme ve biri döndürme için) ve yansımalar ( $\pm$)!