Bir halkanın ve bir kategorinin çarpımsal sistemi
Eğer bir herhangi bir kategori, Morfizmlerin bir sınıftır$S$içinde A bir olduğu söylenir çarpımsal sistemi olup$(a)$ kompozisyon tarafından kapatılmıştır, yani: $id_X$ içinde $S$ her biri için $X$içinde A ve ne zaman$f$ ve $g$A'daki morfizmlerdir, öyle ki bileşim$gf$ o zaman mantıklı $gf$ içinde $S$; $(b)$ formun herhangi bir diyagramı $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ ile $s$ içinde $S$ olarak tamamlanabilir $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} ile$t$ içinde $S$. Aynı şey tüm okların tersine çevrilmesi için de geçerlidir. Sonuçta$(c)$ bir çift morfizm için $f,g:X\to Y$ var $s$ içinde $S$ ile $sf=sg$ eğer varsa $t$ içinde $S$ ile $ft=gt$.
Sorum şu: bu tanım herhangi bir halka için çarpımsal olarak kapalı küme kavramıyla örtüşüyor mu?$R$ bakarsak $R$bir Ab kategorisi olarak tek bir nesne ile? Kesinlikle şart$(a)$ çarpımsal olarak kapalı bir küme için tam olarak istediğimiz şeyi sağlar (bu bir alt kümedir $S\subseteq R$ öyle ki $1\in S$ ve $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), ve eğer $R$ değişmeli, $(b)$ ve $(c)$ aşikar hale gelir, ancak değişmeyen bir halka durumunda bu koşulların bir kanıtını bulamıyorum.
Biri bir kanıt veya karşı örnek verebilir mi? Cevap bir karşı örnek ise, bunun yalnızca değişmeli durumda çalışmasının derin bir nedeni var mı, yoksa çarpımsal sistem kavramı sadece bu durumları genelleştirmek için tasarlanmış mı?
Yanıtlar
Evet, çakışıyor, ancak önemsiz bir şekilde (değişmeli durumda).
(Değişmeli ünital) yüzüğünüzü görün $R$aşağıdaki gibi bir kategori olarak. $R$-modül eylemi $R$ kendi başına bir morfizm yaratır $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, böylece kategoriyi tek bir nesneyle ele alabiliriz (yani $R$) ve morfizmler kümesi $\iota(R)$. Bunun bir oluşturması gerçeği$\mathbf{Ab}$-category, bir halkanın aksiyomlarının bir parçasıdır. Kimlik morfizminin mevcut olması için yüzüğün bütün olması gerekir ve değişme size diğer aksiyomları verir. Örneğin, size verilirse$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} size temelde orijinal halkanın iki öğesi veriliyor$R$. Şema, aşağıdaki varsayımla kolayca tamamlanabilir:$R$ beri değişmeli $sf = fs$ değişmeli diyagrama götürür $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} İfadesi (c) benzer şekilde$t=s$. Değişmeli olmayan halkaları alt kümelerde yerelleştirme hakkında bilmiyorum$S$ genel olarak, ancak bahse girerim ki bu fikirler mantıklıysa, yerelleştirme $S^{-1}R$ ne zaman var olur $R$bu kategorik aksiyomların karşılandığı özel durumda değişmez, ancak genel olarak değildir. Okuduğum bu sigara değişmeli yerelleştirme hakkında biraz bilmek ve bu değişmeli muhatap olarak ilham olarak hissetmez.
Umarım yardımcı olur,