Bir Manifoldda Öngörülen Mahalleyi Bulma

Question

Düzgün bir manifold verildiğinde, açık bir küme için bunu kanıtlayın $U\subset M$ her zaman kapalı bir set bulabiliriz $\bar{B}\subset U$ öyle ki $B$ bir noktada bir mahalle $p\in U$.

Benim girişimim: o zamandan beri $M$ normal topların temeli var, var $B\subset U$ hangisi normal top, öyleyse başka var $B'$ öyle ki $\bar{B}\subset B'$. Ama içerdiği nasıl gösterilir?$U$?

Answer 1

Seç $p\in U$ ve bir koordinat topu seçin $V\ni p$ ile $V\subseteq U$. Diffeomorfizm olması için bu topu seçebiliriz$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$Sonra ayarlayın $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$ve sonra şunu not edin $\overline{W}\subseteq U$ ve şu $W$ mahalle $p$.

Not: ilk tercih $V$ mümkündür çünkü koordinat açık kümeler ile bir temel vardır.