Bir morfizmin pozitif boyutlu liflerle ayrışması
Yansıtmalı çeşitler arasındaki herhangi bir çiftasyonlu morfizmin bir dizi patlama olduğu iyi bilinmektedir. Şimdi bir morfizmim olduğunu varsayalım$f:X \to Y$ pozitif boyutlu liflerle, bu açık bir alt kümenin üzerinde projektif bir demettir. $Y$. Hatta varsayabiliriz$Y$pürüzsüz, gerekli olduğunu düşünmesem bile. Hala doğru mu$X$ projektif bir demetin patlaması $Y$?
Yanıtlar
Yorumumu cevap olarak gönderiyorum. Bu, göreceli boyut için zaten başarısız$1$ temel şema boyuta sahip olduğunda $n$ en azından $3$.
İzin Vermek $k$alan olmak. İzin Vermek$n\geq 3$bir tamsayı olun. Belirtmek$\text{Proj}\ k[x_0,x_1,x_2, \dots,x_n]$ tarafından $\mathbb{P}^n_k$. Belirtmek$\text{Proj}\ k[y_0,y_1,y_2]$ tarafından $\mathbb{P}^2_k$. Gösteren$X$ hiper yüzey $\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k$ bihomojen tanımlayıcı denklem ile, $$f=x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2.$$ Projeksiyon $X$ -e $\mathbb{P}^2_k$ Zariski-yerel olarak önemsiz bir projektif uzay kümesidir. $n-1$. Özellikle,$X$ pürüzsüz $k$-sema. Grothendieck-Lefschetz Teoremi, SGA 2'den Picard grupları üzerine, Picard gruplarının kısıtlama homomorfizmi bir izomorfizmdir,$$\text{res}:\text{Pic}(\mathbb{P}^2_k\times_{\text{Spec}\ k}\mathbb{P}^n_k) \xrightarrow{\cong} \text{Pic}(X).$$ Tabii ki ilk Picard grubu $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. Üstelik ilk Picard grubundaki nef konisi$\mathbb{Z}_{\geq 0}\times \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Bunu görmenin bir yolu, çok sayıda ters çevrilebilir kasnağın, her bir çıkıntının liflerinde doğrusal rasyonel eğrilere ("çizgiler") sınırlandırılmasını dikkate almaktır. Kapalı alt şemadan beri$X$ bu tür çizgiler de içerir, bunun sonucu olarak kısıtlama izomorfizmi aynı zamanda nef konilerinin izomorfizmini indükler.
Özellikle, geniş koni $X$ eşittir $\mathbb{Z}_{>0}\times \mathbb{Z}_{>0}$, böylece geniş olmayan nef bölenleri nef konisinin "sınırında" olanlar, yani, $$\{(0,0)\}\sqcup \left(\mathbb{Z}_{>0}\times \{0\}\right) \sqcup\left( \{0\}\times \mathbb{Z}_{>0}\right). $$ Sınırın bu bölümünün ilk bileşenindeki ters çevrilebilir demet, sadece yapı demeti ve bununla ilişkili daralmadır. $X$ sabit $k$-morfizm $\text{Spec}\ k$. İkinci bileşen projeksiyonu verir$\mathbb{P}^2_k$ve üçüncü bileşen projeksiyonu verir $\mathbb{P}^n_k$. Bu kasılmaların hiçbiri çiftel olmadığından, bunu takip eder$X$ izomorfizm olan bir "patlatma" dışında, bazı projektif planların patlaması değildir.
Böylece, projeksiyon morfizmi $X$ -e $\mathbb{P}^n$önemsiz bir patlamayı hesaba katmaz. Bu izdüşümün kısıtlaması kapalı alt şema üzerinde düzdür$\text{Zero}(x_0,x_1,x_2)$ve kısıtlama, bu kapalı alt şemanın açık tamamlayıcısı üzerinde düzdür. Bununla birlikte, kapalı alt şema üzerindeki lif boyutu$2$açık alt şema üzerindeki lif boyutu ise $1$. Dolayısıyla, bu izdüşüm, göreceli boyutta bir projektif uzay demeti olmasına rağmen, yansıtmalı bir uzay demeti değildir.$2$, resp. göreceli boyut$1$, kapalı alt şema üzerinde kısıtlandığında, resp. açık alt şema üzerinde.