Bir permütasyon eyleminin Bredon kohomolojisi $S^3$

Question

Burada ve burada Bredon kohomolojisinin hesaplamalarını doğrulamak için sorulan birkaç benzer soru gördüm , bu yüzden kendime böyle bir soru soracağım.

İzin Vermek $\mathbb{Z}/2$ harekete geçmek $S^3\subset \mathbb{C}^2$ bir permütasyon eyleminin kısıtlanması ile $\mathbb{C}^2.$ Bredon kohomolojisini hesaplamak istedim $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$

Kompleksin ayrışmasına dayanan bir hücre ayrışmam var $1$boyutlu disk $3$ hücreler: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Buraya $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ ve $D$ içi mi $\mathbb{D}.$ Sonra bir ayrışmamız var $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ ile uyumlu hücrelere $\mathbb{Z}/2$ aksiyon.

Bir eylemin sabit nokta kümesi şu şekilde verilen bir çemberdir: $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Yörünge kategorisinden beri $\mathbb{Z}/2$ içerir $*$ ve $\mathbb{Z}/2$ aşağıdaki eşdeğer zincirler vardır: \ begin {dizi} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatöradı {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {karşılık gelen hücreler} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ üst çizgi {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ kez D \\ \ hline \ end {dizi}

Görünüşe göre kokainlerin değeri $\underline{\mathbb{Z}}$ şunlardır:

\ başlangıç ​​{dizi} {| c | c |} \ hline \ operatöradı {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {dizi} Beri$(T\times T)^*=0$ kokainlerde biz var $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Diferansiyel $d_1$ bir izomorfizmdir çünkü $\partial(D\times *)=T\times *.$ Öyle görünüyor $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$

Bölümün homolojik bir alan olması bana biraz tuhaf geliyor. Elbette, grup$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ oryantasyon korunduğundan beri, ama belki bazılarını kaçırdım $2$-düşük derecelerde dönme?

Answer 1

Son cevabınız doğru, ancak kullandığınız hücre yapısı bir $G$-CW yapısı: $T\times T$ bu şekilde hücre olarak kullanılamaz.

Buna şöyle yaklaşırdım: Eylemi $G = {\mathbb Z}/2$ açık $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ temsil olarak yazılabilir $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, nerede $G$ önemsiz davranır $\mathbb{C}$ ve olumsuzluk ile $\mathbb{C}^\sigma$. Küre$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ aynı zamanda tek noktalı kompaktlaştırmadır $S^{1+2\lambda}$, nerede $\lambda$ ile gerçek çizgiyi gösterir $G$olumsuzluk yoluyla davranmak. Bu bir$G$-CW yapısı

1. bir $G$sabitlenmiş 0 hücreli,
2. bir $G$sabit 1 hücreli,
3. bir $G$-ücretsiz 2 hücreli ve
4. bir $G$-ücretsiz 3 hücreli,

böylece iskelet $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, ve $S^{1+2\lambda}$. Buradan hesaplayabilirsiniz.$\underline{\mathbb{Z}}$-cochain kompleksi $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$

Cevabın doğru olup olmadığını kontrol etmenin bir yolu yazmaktır $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ ve sonra bilinen hesaplamasını kullanın $RO(G)$Bir noktanın dereceli kohomolojisi (orijinalinde Stong'dan (yayınlanmamış), çeşitli yerlerde yayınlandığından beri).