Bir politopu suya indirin $-$ su seviyesindeki köşeler alttakilerle bağlantılı mı?
Dışbükey bir poliop aldığımızı varsayalım$P$ ve bir yüz $A$ köşelerle $a_1,\ldots, a_n$. Politopu ile tutuyoruz$A$ yüzeyle aynı hizada tutun ve yavaşça indirin, $A$yüzeye paralel. Su seviyesi bir tepe noktasına ulaşana kadar düşürmeye devam ediyoruz$b_1$ ait değil $A$. O zaman izin ver$b_1,\ldots, b_m$su seviyesinde tüm köşeler olun. Merak ediyorum:
Her $b_i$ bazılarına bir kenar ile birleştirildi $a_i$?
Fiziksel olarak açık görünüyor. Ancak doğrusal eşitsizlikler / dışbükey gövde tanımlarının eşdeğer olması gibi politoplarla ilgili pek çok gerçek de aynı şekilde.
Politopun su seviyesi ile kapladığı düzlem arasındaki kısmını düşünürseniz $A$ daha küçük bir politop alırsın $Q$. Bu$Q$ hepsi var $a_i,b_j$ köşeler olarak, ancak kenarları olduğunda ekstra köşeler oluşturulmuş olabilir $A$sudan geçmek. Yine de tüm köşeler iki düzlemden birinde yer alır. Bu, aşağıdaki belki daha kolay soruyu akla getiriyor.
Varsayalım $P_1,P_2$ iki paralel düzlemdir ve $P$ her köşesi her ikisinde de bulunan bir politoptur $P_1$ veya $P_2$. Her köşe$P_1$ bir tepe ile birleştiğinde $P_2$?
Yanıtlar
İkinci sorunuzun cevabı Evet (ve birincisinin cevabı da öyle).
Genel olarak, bir (tam boyutlu) bir politopun her tepe noktası için $P\subset\Bbb R^d$, bu tepe noktasına gelen kenarların yönleri tüm $\Bbb R^d$.
Bir tepe noktası $P_1$ yalnızca diğer köşelere kenarları olabilir $P_1$, o zaman açıklık boyutsal olacaktır $\le \dim(P_1)= d-1$dolayısıyla hepsi değil $\Bbb R^d$.