Sanırım cevap

$$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Kanıt

Orijinal numaramızı şöyle yazdığımızı varsayalım: $$N = a_n 10^n + a_{n-1}10^{n-1} +\ldots + a_0 = \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j$$ Problemde açıklanan denklem şu şekildedir: $$ 2 \displaystyle \sum_{j=0}^n a_j 10^j = a_0 10^n + \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1}$$ Yeniden düzenleme verir $$ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j ((2 \times 10^j) - 10^{j-1}) = a_0 (10^n - 2)$$ bunun anlamı $$ 19 \displaystyle \sum_{j=1}^n a_j 10^{j-1} = a_0 (10^n -2)$$ Şimdi sol tarafın şu şekilde bölünebileceğine dikkat edin: $19$ bu yüzden sağ taraf da olmalı ama o zamandan beri $a_0$ ortaktır $19$, bu şu demek $10^n - 2$ ile bölünebilir $19$. Bu nedenle, en küçük gücü arıyoruz$10$ ile uyumlu olan $2$ modulo $19$.

Güçlerinden geçiyor$10$ modulo $19$ verir $10, 5, 12, 6, 3, 11, 15, 17, 18, 9, 14, 7, 13, 16, 8, 4, 2, \ldots$.
Bu nedenle, en küçük güç$10$ bu işe yarar $10^{17}$. Bunu denklemimize takarsak,$$ \displaystyle \sum_{j=1}^{17} a_j 10^{j-1} = a_0 \frac{10^{17} -2}{19}$$ Açıkça seçemeyiz $a_0=1$ sağ tarafta çok az basamak olacağından, ancak $a_0=2$ (asgari düzeye ulaşmak için) o zaman güvenli görünüyor $17$sağ taraftaki rakamlı sayı ve sadece geri kalanını seçebiliriz $a_j$uygun şekilde solda.

Bu, en küçüğü anlamına gelir$N$ hangi işler olmalı $$N = 20 \left(\frac{10^{17} -2}{19}\right) + 2$$

Bilgisayar kontrolü

Bir bilgisayarla çalışmak, bunun değeri gibi görünüyor $N$ yukarıda $105263157894736842$ ve bunu ikiye katlamak $210526315789473684$ yani bu gerçekten işe yarıyor.

Bir rakamı sağdan sola kaydırmak

Yanıtlar