Bir toplamı olabilir $n$ kareler toplamı olarak ifade edilir $n/2$ kareler?
Kareler Pisagor üçlüsü olduğunda özel durumun cevabı evet. Pisagor üçlüleri en düşük durumdur$n$, yani $2$. İki Pisagor üçlüsü, bir toplam oluşturmak için birleştirilebilir.$4$ olduğu gibi kareler $(3^2 + 4^2) + (5^2 + 12^2) = 5^2 + 13^2$. Pisagor üçlülerini birleştirerek (ekleyerek), keyfi olan bir kareler toplamı yapabiliriz$n$.
Soru: İlgili kare çiftleri Pisagor üçlüleri olmadığında veya tüm çiftler Pisagor olmadığında genel durumda ne olur?
Yanıtlar
Cevap evet (eşit)$n \geq 8$ve hayır (çift)$n \leq 7$.
Eğer $n \geq 8$ o zaman toplamı $n$kareler, Lagrange dört kare teoremine göre dört karenin toplamıdır. Şimdi eğer$n/2$ 4'ten büyükse, toplamınızı şuna eşit yeterli terim ekleyerek tamamlayabilirsiniz: $0^2$.
İçin $4 \leq n \leq 7$ Bunu not et $7$ toplamı olarak yazılabilir $n$ kareler ancak toplamı olarak yazılamaz $n/2$ kareler.
İçin $2 \leq n \leq 3$ Bunu not et $5$ toplamı $n$ kareler ama toplamı değil $n/2$ kareler.
Lagrange'ın dört kare teoreminden, her doğal sayının dört tam karenin toplamı olarak ifade edilebileceğine sahibiz. Çünkü her zaman ekleyebiliriz$0^2$ toplamı değiştirmeden, bu, her doğal sayının toplamı olarak yazılabileceği anlamına gelir. $n$ herhangi biri için kareler $n\geq4$.
Sorunun verilip verilmediğini soruyor $M$ toplamı $n$ kareler, toplamı olarak yazılabilir mi $\frac{n}{2}$kareler. Bunun gerektirdiği gibi$n$ eşit olmak, dört vakamız var:
Dava 1: $n=2$
Bu durumda, $M$ iki karenin toplamıdır, eğer bir Pisagor üçlüsü varsa, bu yalnızca bir karenin toplamıdır.
Durum 2: $n=4$
Bu durumda, $M$herhangi bir doğal sayı olabilir. Soru, genel bir doğal sayının 2 karenin toplamı olarak yazılıp yazılamayacağını sorar. Bu sorunun cevabı, Euler'e atıfta bulunulan İki Karenin Toplamı Teoreminden gelir ve bir sayının iki karenin toplamı olarak yazılabileceğini söyler, ancak ve ancak asal çarpanlara ayırma uyumlu bir asal içermiyorsa$-1\mod4$ garip bir güce yükseltildi.
Durum 3: $n=6$
Bu durumda, M herhangi bir doğal sayı olabilir. Soru, genel bir doğal sayının 3 karenin toplamı olarak yazılıp yazılamayacağını sorar. Legendre'nin Üç Kare Teoreminden cevap şu ki, doğal sayıların çoğu olmasa da çoğu üç karenin toplamı olarak yazılabilir. Özellikle, tüm doğal sayılar hariç,https://oeis.org/A004215 üç karenin toplamı olarak yazılabilir
Durum 4: $n\geq8$
Bu durumda, her doğal sayı, toplamı olarak yazılabilir. $\frac{n}{2}$ kareler ve bu nedenle cevap önemsiz bir şekilde evet.
Durum 3 ve 4 için, seçim yapmakta yeterince yerimiz var $n$ Hiçbir Pisagor Üçlüsü içermeyen bir ayrılık seçebileceğimiz kareler
Soruyu doğru anladığımdan emin değilim, çünkü gerçekten kastettiğin buysa, o zaman karşı örnekler bulmak çok zor değil.
Yorumum: Bir koleksiyon verildiğinde $n$ pozitif tam sayılar, $\{ a_1, ..., a_n \}$, bir koleksiyon bulmak mümkündür $n/2$ pozitif tam sayılar, diyelim ki $\{ b_1, ... , b_{n/2} \}$ öyle ki $$ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^2 = \sum_{i=1}^{n/2} {b_i}^2 $$.
Aslında kastettiğin buysa, önce $n$tuhaf bir tamsayı olmak ve işimiz bitti. Çünkü$n/2$ tamsayı değildir, ifade açıkça yanlıştır.
Şimdi varsayalım $n$sadece eşit olmasına izin verilir. Düşün, söyle$n = 2$ ve $a_i = 1$ ikisi için $i=1,2$. $\sum {a_i}^2 = 1^2 +1^2 = 2$, tam bir kare değildir ve bu nedenle ifadeye karşı bir örnektir.
Herhangi iki Pisagor üçlüsü, dört karenin toplamı veya iki karenin toplamı olarak temsil edilebilir.
Örnekler: $\qquad(15^2+8^2)+(21^2+20^2)=17^2+29^2$
veya bu cevabın ilk versiyonunda gösterdiğim örnekten: $$157^2+12324^2=6493^2+10476^4=10147^2+6996^2=12317^2+444^2=12325^2$$ $\implies(157^2+12324^2)+(6493^2+10476^4)+(10147^2+6996^2)+(12317^2+444^2)\\\qquad\qquad\qquad=(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)+(12325^2)$
nerede $8$ karelerin toplamı şu şekilde ifade edilir: $4$. Örnek verdim$4$ eşit değerler, ancak herhangi bir kombinasyonun herhangi bir çift sayısı $C$-değerler bu sayının yarısına indirilebilir.
Başka bir örnek burada $10$ kare toplamları eşittir $5$ toplamlar $\qquad\qquad (3^2+4^2)+(5^2+12^2)+(13^2+84^2)+(85^2+132^2)+(157^2+12324^2)\\ \qquad\qquad=5^2+13^2+85^2+157^2+12325^2$
Son sorunuz için, kareler gerekli değilse, sonsuz çözümler de vardır: $$(12+13)+(168+1)=5^2+13^2$$ veya $$(1^2+2^2)+(4^2+5^2)=(5+41)$$