Boyutta merkezi simetrik kendiliğinden ikili politoplar var mı $d> 4$?
Bir dışbükey politop$P\subset\Bbb R^d$olduğu ortadan simetrik olarak ise$-P=P$. Öyle kendinden çift (veya daha iyisi, kendinden kutupsal?) Onun kutup çift ise$P^\circ$ uyumlu $P$yani bir harita var $X\in\mathrm O(\smash{\Bbb R^d})$ ile $\smash{P^\circ}=XP$.
Soru: Boyutta merkezi simetrik kendiliğinden ikili politoplar var mı$d>4$?
Boyutta böyle var $d=2$ ve $d=4$:
- için $d=2$ normal 2n-galonumuz var,
- için $d=4$ 24 hücreye sahibiz.
Yanıtlar
Her boyutta merkezi simetrik self-dual polytoplar vardır. Bu, Reisner, S. , 1 koşulsuz tabanlı grafikler ve CL-uzayları ile ilişkili belirli Banach uzaylarındaki Önerme 3.9'dan , J. Lond. Matematik. Soc., II. Ser. 43, No. 1, 137-148 (1991). ZBL0757.46030 .
Dahası, boyut olarak $\geqslant 3$ matris $X$ permütasyon matrisi olarak seçilebilir.
İşte boyutta bir örnek $3^d$ her biri için $d$. Sztencel-Zaramba polytope ile başlayın$P$. Bu, norm için birim toptur$\mathbf{R}^3$ $$ \|(x,y,z)\| = \max \left( |y|+|z|, |x|+\frac 12 |z| \right)$$ çift normu tatmin eden $$ \|(x,y,z)\|_* = \|(z,y,x)\|. $$ Şimdi endüktif olarak bir dizi tanımlayabiliriz $\|\cdot\|_d$norm olan $\mathbf{R}^{3^d}$ (Ile tanımlanan $\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}$). Seçti$\|\cdot\|_1$ normun üstünde olmak ve özyinelemeli formülü kullanmak $$ \|(x,y,z)\|_{d+1} = \|( \|x\|_d ,\|y\|_d , \|z\|_d )\|_1 .$$ Tümevarım yoluyla birim topun kutbuna eşlenmesini sağlayan bir permütasyon matrisinin olup olmadığı kontrol edilir.
Politopu görselleştirmek için $P$ Sage kodunu kullanabilirsiniz
p1 = Polyhedron(vertices=[[0,1,1],[0,1,-1],[0,-1,1],[0,-1,-1],[1,0,1/2],[1,0,-1/2],[-1,0,1/2],[-1,0,-1/2]])
p1.projection().plot()