Bu dizi neden tekdüze yakınsak değil?

Question

Bu problemde şu açıklanmaktadır: $f_n(x)$noktasal yakınsaktır, ancak düzgün yakınsak değildir. Neden tek tip yakınsak olmadığına dair açıklama da verilmiştir. Ancak anlayamıyorum, aşağıdaki teoremi kullandığımda şu sınırı elde ediyorum$f_n - f = 0$ Belki birisi bana sıranın neden tek tip yakınsak olduğu konusunda daha ayrıntılı bir cevap verebilir mi?

Answer 1

Dan beri $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, var $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Başka bir deyişle,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$ve, özellikle, öyle değil doğrudur$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Yani, yakınsama tek tip değil.

Answer 2

Öncelikle noktasal sınırı belirlemelisiniz . İzin Vermek$x\in[0,1]$. İçin$n>1/x$, $f_n(x)=0$, dolayısıyla noktasal sınır $0$.

Açıklamanın gösterdiği gibi, bizde $\|f_n\|_\infty=n/4$. Böylece,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ ve aktardığınız teoremi kullanarak, suprema diverging'in limiti eşdeğerdir $f_n$ tekdüze yakınsak değil .

Answer 3

Normlu (veya genel metrik uzayda) bir dizinin yakınsama tanımına göre, dizi (fn) f'ye yakınsamaz çünkü norm (burada sup-normdur) (fn - f)> = 1/4 hepsi için n.