Bu karmaşık analiz probleminde en iyi sabiti bulun

Dec 16 2020

Bana sıkıntı veren ve oldukça ilginç olan bir soruna rastladım ama yapamıyorum. İşte gidiyor.

İzin Vermek $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} için $\forall n \in \mathbb{N}$ ve $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Açıkça$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$

İçin $n=2$var olduğunu kanıtla $J$, öyle ki $S_J\geq aS$ ve $a\in \mathbb{R}$. Kanıtla$a=\frac{1}{2}$en iyi sabittir.
İçin$n=3$var olduğunu kanıtla $J$, öyle ki $S_J\geq bS$ ve $b\in \mathbb{R}$. Kanıtla$b=\frac{1}{3}$en iyi sabittir.
En iyi sabit olan nedir?$n\geq 4$ ?

Yanıtlar

2 RobertIsrael Dec 18 2020 at 04:30

Yazmak istiyorsun $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ gibi $S_J$, değil $S_j$: $j$ sadece bir "kukla indeks" dir.

İçin $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ yani $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. Benzer şekilde$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, ve genel olarak $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.

Görmek için $a = 1/2$ için en iyi sabittir $n=2$, alabilirsin $z_1 = 1$ ve $z_2 = -1$. Görmek için$a=1/3$ için en iyisi $n=3$, alabilirsin $z_1, z_2, z_3$ üç küp kökü $1$.

En iyi sabitleri ne zaman bilmiyorum $n > 3$.

DÜZENLEME: bkz bu