Bu yaklaşım, bu fonksiyonun analitik olduğu en büyük açık kümeyi bulmada doğru mu?

Aug 17 2020

Bu soru, karmaşık analizdeki görevimin bir parçasıydı.

Hangi en büyük açık seti bulun $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ analitiktir.

yazdığım $F(t)= \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+tz} dt $ ve sonra hesaplama $\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}$. Daha sonra$F(t+h)$ alacağım $\mathrm{d}(t+h)$ eşit koyduğum $\mathrm{d}t+\mathrm{d}t$. Yani alıyorum$3$ integraller.

Ancak bir karışıklık var: sınırı $F(t)$ dır-dir $0$ -e $1$ bitmiş $\mathrm{d}t$ ama nedeniyle $\mathrm{d}(t+h)$ integralin içinde limit alıyorum $\mathrm{d}h$ ayrıca eşittir $0$ -e $1$ ve sonra sınırı koyacağım $h \rightarrow0$.

Bundan sonra sadece hesaplamalar kaldı. Peki benim yaklaşımım doğru mu? Değilse, lütfen hatanın ne olduğunu ve doğru yaklaşımın ne olacağını söyleyin.

Teşekkürler!!

Yanıtlar

1 Vercassivelaunos Aug 16 2020 at 23:56

Leibniz kuralını parametrik integraller için kullanabilirsiniz: $D\subseteq\mathbb C$ açık, $f:[a,b]\times D\to\mathbb C$ süreklidir ve $f_t(z):=f(t,z)$ analitik $D$ hepsi için $t\in[a,b]$, sonra

$$F(z):=\int_a^b f(t,z)\mathrm dt$$

analitik $D$. Sizin özel örneğinizde,$f(t,z)=\frac{1}{1+tz}$analitik olan $\mathbb C\backslash(-\infty,-1]$ hepsi için $t\in[0,1]$, dan beri $f_t$ dışında her yerde analitiktir $z=-\frac{1}{t}$. Dolayısıyla söz konusu integral, bahsettiğim alanda analitiktir ve bu alanın dışında tanımlanmamıştır, dolayısıyla alan aynı zamanda analitik olduğu en büyük alandır.