Bulma $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$

Question

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ wolframalpha'ya göre bu sınır eşittir $0$.

Yani bu şimdiye kadarki işim

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ çıktı $\infty - \infty$ belirsiz form olan.

Sırada ben temelde ama aynı paydada: $\frac{1}{3}$ $((3x + 2x^3 - 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}})$ ve döndü $2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$ çalışmak için daha kolay bir şeye $2\sqrt{x^2+1}+2x^{2}\sqrt{x^2+1}$

şimdi sınır $\frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} ((3x + 2x^3-2\sqrt{x^2+1} -2x^{2}\sqrt{x^2+1})$ ve bu benim bir sonraki yapmak zorunda kaldığım ve kaybolduğum yer.

Answer 1

$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{\left(x+\frac{2}{3}x^3\right)^2-\frac{4}{9}(x^2+1)^3}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=$$ $$=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=\frac{-\frac{1}{3x}-\frac{4}{9x^3}}{\frac{1}{x^2} + \frac{2}{3}+ \frac{2(1+\frac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3}}\rightarrow0$$ için $x\rightarrow+\infty.$

Answer 2

İlk önce gözlemleyin $$3x+2x^3-2(x^2+1)^{3/2}=\frac{3x^2+4}{-3x-2x^3-2\sqrt{x^2+1}-2x^2\sqrt{x^2+1}}.$$ Üst kısım ikinci dereceden, alt kısım ise sırasıyla $x^3$dolayısıyla limit $x\to \infty$ sıfırdır.

Answer 3

By binom yakınlaştırılması

$$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=(x^2)^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac1{x^2}\right)^{\frac{3}{2}} = x^3+\frac32 x +O\left(\frac1{x}\right)\implies \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}+x+O\left(\frac1{x}\right)$$

bu nedenle

$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=O\left(\frac1{x}\right)\to 0$$

Answer 4

İpucu:

WLOG $x=\tan y\implies y\to\dfrac\pi2$

$$\dfrac{3\tan y+2\tan^3y-2\sec^3y}3$$

$$=\dfrac{3\sin y\cos^2y+2\sin^3y-2}{3\cos^3y}$$

Pay $$=3(1-\sin^2y)\sin y+2\sin^3y-2=\cdots=(1-\sin y)^2(2\sin y+1)$$

Sonunda kullan $$\dfrac{1-\sin y}{\cos y}=\dfrac{\cos y}{1+\sin y}$$

Answer 5

Bunu hatırlamalısın $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, dan beri $(c-d)(c+d)=c^2-d^2$. Bu, karekök ile ifadeyi basitleştirmenize yardımcı olacaktır.

Yazdıklarınızı nasıl elde ettiğinizi anlamasam da, görebildiklerimden almalısınız:

$$ x+ \frac{2x^3}{3}-\frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x +\frac{2}{3}\Big( \frac{x^6-(x^2+1)^3}{x^3 +(x^2+1)^{ \frac{3}{2} } } \Big)=x+\frac{2}{3}\frac{-3x^4-3x^2-1}{x^3+(x^2+1)^{ \frac{3}{2} }}$$

Answer 6

$$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}$$ Son dönem için $\frac{1}{x^2}=\epsilon$ ve iki terimli genişletmeyi kullanın $$(1+\epsilon)^{3/2}=1+\frac{3 \epsilon }{2}+\frac{3 \epsilon ^2}{8}+O\left(\epsilon ^3\right)$$ Değiştir $\epsilon$ tarafından $\frac{1}{x^2}$ yapmak $$\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$$ $$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)$$ $$A=-\frac{1}{4 x}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$