Bures ve açı ölçümlerinin arkasındaki önsezi nedir?
Gerçek ve ideal kuantum süreçlerini karşılaştırmak için Uzaklık ölçülerini okuyorum ve Bures metriğinin ve açı metriğinin arkasındaki motivasyon açıklanıyor.
Bures metriği şu şekilde tanımlanır:
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
Açı metriği şu şekilde tanımlanır:
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
Nerede $F(\rho,\sigma)$ arasındaki sadakat $\rho$ ve $\sigma$yoğunluk matrisleri. Saf hallerde böyle bir motivasyonu anlayabileceğimizi söylüyor: olağan öklid mesafesinden geldiğini göreceğiz.
Bu tür hesaplamalar yaparsam, öklid mesafesini şu şekilde tanımlardım:
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Bure metriğini bulmak için varsaymam gerekiyor $\langle X | Y \rangle \geq 0$.
Ama neden böyle olsun? Örneğin şunu düşünürsem:
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
Arasındaki göreceli fazı değiştiremiyorum $|a \rangle$ ve $|b \rangle$ istediğim gibi (çünkü fiziksel durumu değiştirecekti) $|\psi \rangle$). Böylece eğer$\langle a | b \rangle $ pozitif bir sayı değil sanırım bunun için yapabileceğim pek bir şey yok.
Öyleyse böyle bir metriğin ardındaki sezgiyi nasıl anlayabilirim? Aslında onu bir metriğin aksiyomlarını karşıladığını doğruladığım "soyut" bir tanım olarak mı düşünmeliyim? Ancak makalenin arkasındaki motivasyonu açıklama biçiminde garip olurdu.
Açı metriği için de benzer soru.
[değiştir]: Fiziksel durumlar arasında bir mesafe tanımlamak istediğimiz gerçeğinden kaynaklanıyor olabilir . Düşünen$|\Phi \rangle$ ve $| \Psi \rangle$iki fiziksel durum, küresel fazları önemli değil. Böylece basit bir formüle sahip olmak için aşamalarını seçebiliriz$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ Böylece $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ üst sınıra karşılık gelen: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$. Bir şekilde mantıklı geliyor çünkü fiziksel ve matematiksel olmayan durumlar arasındaki mesafeyle ilgileniyoruz . Böylece iki devletin küresel evrelerini istediğimiz gibi düzeltebiliriz.
Bu mantıklı mı ?
Yanıtlar
Tam bir cevap için bir dizi ayrıntıyı doldurmak -
Bağlantılı makaleden başlayarak, gerçek ve ideal kuantum süreçlerini karşılaştırmak için Mesafe ölçümleri [arXiv: quant-ph / 0408063] , aslına uygunluk tanımı Denklem'de verilmiştir. (4) olarak$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- bu biraz korkutucu görünebilir, ancak sadakatle ilgili iki önemli şeyi gösterir: genel olarak yoğunluk operatörleri (sadece durum vektörleri değil) üzerinde tanımlanmıştır ve her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır. Bunu saf haller için hesaplamak istiyorsanız, yukarıdaki tanım şuna eşdeğerdir:$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ bu her zaman negatif olmayan bir gerçektir ve özellikle her iki durum için de düşünebileceğiniz herhangi bir küresel aşamaya bağlı değildir. $\lvert \psi \rangle$ veya $\lvert \phi \rangle$ (devlet hakkında fiziksel bilgi değildir).
Bures metriği (4. sayfanın ikinci sütunundan) bu durumda $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ saf haller için basitleştiren $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ maksimum birim vektörler üzerinden alınır $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ ve $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$.
Neden (mantıksız değil) soruyorsunuz, saf haller için mutlak değeri alıyorsunuz $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$gerçek kısmı yerine $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ doğrudan vektörlerin iç çarpımlarıyla uğraşıyor olsaydınız $\lvert \psi \rangle$ ve $\lvert \phi \rangle$. Cevap şu ki, aslında bu durumları temsil eden belirli vektörlerle değil , durumlarla ilgilendiğimiz için , durum vektörleriyle doğrudan çalışmak ille de mantıklı bir yanıt sağlamayacaktır. Bir eyalet için$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$değerleri $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ ve $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ genellikle aynı olmayacak - ama kullansak da $\lvert \phi' \rangle$ veya $\lvert \phi \rangle$Devleti temsil etmek, ne fizik ne de fizik analizimiz üzerinde hiçbir etkisi olmayan tamamen keyfi bir seçim olmalıdır. Herhangi bir formül seçimi, bu tür rastgele seçimler altında kararlı olmalı ve ayrıca (bir metrik için) değeri vermelidir$0$ farklı yollar düşünseydik $\lvert \phi' \rangle$ ve $\lvert \phi \rangle$ aynı durumu temsil etmek için.
Günün sonunda, Öklid ölçüsüne göre sadeleştirme konusundaki açıklamalarının, resmi bir ifade sunmaya yönelik ciddi bir girişimden ziyade, hızlı bir önsezi sağlama girişimi olduğunu unutmayın. Bununla birlikte, mutlak değeri almanın (veya tercih ederseniz, eşdeğer durumlar arasındaki maksimum iç çarpımı küresel fazlara kadar) almanın, "devletler" arasındaki "Öklid mesafesi" ile olan bağlantıyı dikkate almak için doğru yaklaşım olduğu bir anlam vardır ve Bence bu onların aklında olan şey.