$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ ve sonsuzluk
Bir soru:
- Tanımı ise $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ ve boş değil, o zaman elemanlarının sonsuz kesişimine ait olduğu anlamına mı geliyor? $A_n$ veya herhangi bir sonlu kesişim noktası $A_n$ tüm doğal sayılar için?
Daha ayrıntılı olarak, bu kafa karıştırıcı notasyona karşı nasıl hissettiğimi göstermek istiyorum $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Analizi Anlamak Steven Abbott
Örnek 1.2.2'de tanımlandığı $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Tümevarım yoluyla, her sonlu kesişim noktası için boş değildir. Ancak çelişkili bir kanıt, sonsuz duruma gittiğinde gösterimi kullanan$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$boş bir kümedir. Başka bir deyişle, bu örnekte, bu gösterim sonsuz kesişim için kullanılmaktadır.
İç içe geçmiş aralık özelliğini kanıtladığı Teorem 1.4.1. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Burada bunun sonsuz kesişim olup olmadığını belirtmez. Bunun yerine,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Bu nedenle$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Başka bir deyişle, bu örnekte, bu gösterim her sonlu doğal sayı için kullanılır.
Teorem 1.5.8, If diyor$A_n$ her biri için sayılabilir bir kümedir $n\in N$, sonra $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$sayılabilir. Başka bir deyişle, bu örnekte, bu gösterim sonsuz kesişim için kullanılmaktadır.
Bu gösterimle bir anlamda kafam karıştı, gösterim sonsuzluk işaretini içeriyor ama tanımı her doğal sayı anlamına geliyor. Bu nedenle, ne zaman görsem, hangisini uygulayacağımı bilmiyorum.
Bunun uygulanabilir olduğu yöne gidersem söyle $\forall n\in N$, o zaman tümevarım işe yaramalı çünkü tümevarım tam olarak aynı şeyi yapıyor! Yine de, bu gönderi, notasyonun sonsuzluk hakkında olduğunu söyleyerek aksini gösteriyor .
Güzel, sonsuz kesişimle ilgili olduğu yönü değiştiriyorum. Ancak bazı durumlarda, örneğin yukarıda listelediğimde, bir şekilde tüm doğal sayılar için geçerli olan bir şey varsa, bu gösterimin bir parçası olmakta sorun yok.
Kısacası, bu notasyonun çelişen 2 anlamı olduğunu hissediyorum
- $\forall n\in N$
- Sonsuzluk
Daha önce araştırmalar yaptım ve sorular sordum ama hala anlamıyorum. Bu yüzden sanırım bazı tanımlarda yanlış ve kafa karıştırıcı bir şey buldum.
Yanıtlar
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$bir kümedir. Ne seti? Setlerin her birine ait olan her şeyin seti$A_n$ için $n\in\Bbb Z^+$. İzin Vermek$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; sonra$\bigcap\mathscr{A}$ tam olarak aynı anlama gelir. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ basitçe geleneksel bir gösterimdir ve ne daha fazla ne de daha az anlamına gelir $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, ve $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Yok$A_\infty$: $\infty$ sadece dizinin $n$ tüm pozitif tam sayı değerlerini varsaymaktır.
Varsayalım ki her pozitif gerçek sayı için $x$ İzin verdim $I_x$ açık aralık ol $(-x,x)$. Sonra$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$bu açık aralıkların her birine ait olan tüm gerçek sayıların kümesidir. Eğer$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, sonra
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Nasıl bilebilirim? Eğer$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, sonra $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$yani en az bir üye var $\mathscr{I}$ içermeyen $y$ve dolayısıyla tanım gereği $y$ ailedeki setlerin kesişme noktasında değil $\mathscr{I}$. Diğer taraftan,$0\in(-x,x)=I_x$ her biri için $x\in\Bbb R^+$, yani $0$ bir kavşak$\bigcap\mathscr{I}$.
Her iki durumda da hiçbir yerde indüksiyon kullanmadık. Setler durumunda$A_n$ tümevarımı kullanabiliriz $n$ setlerin her birinin $A_n$ bazı mülkü var $P$, ancak bunu göstermek için bu indüksiyonu genişletemedik $\bigcap\mathscr{A}$ vardır $P$. Bir şekilde mümkün olabilir kullanmak her gerçeğini$A_n$ mal var $P$ bunu göstermek için $\bigcap\mathscr{A}$ ayrıca var $P$, ancak bu ayrı bir argüman gerektirir; tümevarımın bir parçası olmayacaktır. Bu durumda tümevarım argümanı şunu kanıtlayacaktır:
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
ayrı argüman daha sonra bu sonucu ve diğer gerçekleri kullanarak tek kümenin $\bigcap\mathscr{A}$ mal var $P$. Bu seti arayabilirsin$A_\infty$Bunu yapmak isteseydiniz, ama bu sadece bir etiket olurdu; buna eşit derecede iyi diyebilirsin$A$veya $X$, ya da $A_{-1}$hazırlıksız da olsa neden bu son etiketi kullanmak isteyeceğini hayal edemiyorum.
Setler durumunda $I_x$ her birini göstermek için tümevarım kullanma imkanı yoktur. $I_x$ bazı özelliklere sahiptir: bu kümeler şu şekilde listelenemez: $I_1,I_2,I_3$ve benzeri, çünkü sayılamayacak kadar çok var. Hala setle ilgili şeyleri kanıtlayabiliriz$\bigcap\mathscr{I}$, ancak. Ve ona herhangi bir uygun etiket verebiliriz.$\bigcap\mathscr{I}$bilgilendirici, ancak belki biraz rahatsız edici; Ona daha kullanışlı bir etiket vermeyi seçebilirim$I$.
Bu durumuda $\mathscr{A}$ sembolü kullanan alışılmış bir gösterim vardır $\infty$, ancak bu sadece setlerin $A_n$tamsayılar tarafından indekslenir. Örnekte tam olarak aynı şeyi yapıyoruz.$\mathscr{I}$, ancak bu durumda bir limit kullanma imkanı yoktur $\infty$ kesişme noktasında, çünkü sayılamayacak kadar çok seti indekslemenin bir yolu yoktur. $I_x$ tamsayılarla.