Chung Erdős eşitsizliğini kanıtlamak için Schwarz eşitsizliğinin kullanılması

Question

Chung Erdős eşitsizliğinin bir kanıtını anlamaya çalışıyorum. Bulabildiğim tüm kaynaklar (MSE ile ilgili sorular ve yanıtlar dahil) aşağıdaki satırlarda bir şeyler ifade etmektedir:$A_1, \ldots, A_n$ olaylar ve eğer $X_i$ karakteristik fonksiyonu tarafından verilen rastgele değişkendir $A_i$, $i = 1, \ldots, n$, ardından aşağıdaki eşitsizlik Schwarz eşitsizliğinden kaynaklanır:

$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$

Muhtemelen bu konuda özellikle aptalca davranıyorum, ancak yukarıdakileri elde etmek için Schwarz eşitsizliğini nasıl uygulayacağımı bilemiyorum.

Answer 1

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin bir biçimi şudur: $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (Bu, gerçek değerli rastgele değişkenlerin uzayına ikinci momentlerle, iç çarpımla birlikte uygulanan olağan CS eşitsizliğidir.$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)

Bunu durumda uygulayın $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ve $V=I_{U>0}$. Bunu not et$E[U]=E[UV]$, bu $V^2=V$ ve şu $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, eşitsizliğinizi ortaya koyuyor $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$

Answer 2

İzin Vermek $X = X_1 + \cdots + X_n$ ve şununla belirt $f$ olasılık yoğunluk işlevi.

Yazmak $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. Sonra

$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$

Cauchy-Schwarz tarafından.