Dır-dir $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ izomorfik $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ veya $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Question

Dır-dir $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$ izomorfik $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ veya $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Bence $\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ çünkü ilki bir alan değil ($x^{2} + 2x + 1$) indirgenebilir, ancak ikincisi bir alandır çünkü $(x^{2}+1)$indirgenemez. Bu doğru mu?

İkinci yüzük konusunda emin değilim.

Answer 1

Evet, birincisi hakkında haklısınız. Bunu da göstermenin bir yolu$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ bunu not etmek $(x+1)^2 = 0$ içinde $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$ sıfır olmayan herhangi bir öğenin karesi $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$ sıfır değildir, bu nedenle izomorfik olamazlar.