Dışbükey fonksiyonun gradyanı, etki alanının iç kısmında süreklidir

Question

Dışbükey, daha düşük yarı sürekli ve uygun işlev verildiğinde $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ kendi alanında türevlenebilir olan, gradyanının $\nabla f$ etki alanının iç kısmında süreklidir $f$? İşte alıyorum$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. Bulduğum şey, böyle bir işlev için$f$bu doğru olmalı $f$kendi alanında yerel olarak Lipschitz süreklidir ve daha sonra Rademacher'in teoremine göre yerel olarak türevlenebilir ae'dir. Ancak bu istediğimi anlamıyor. Kanıtı veya karşı örneği olan var mı?

Düzenleme: Bu, Rockafellar ve Wets'teki sonuç 9.20.

Answer 1

Genelliği kaybetmeden kanıtlamak yeterlidir. $\nabla f$ sürekli $x = 0$ ne zaman $\nabla f(0) = 0$. Varsayalım$x_n \to 0$ şekildedir $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Verilen$\epsilon>0$ öyle ki $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, toplamak $n$ Böylece $x_n \in B(0,\epsilon)$ ve $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Var olduğunu biliyoruz$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, öyle ki $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (yani seçin $y$ yönünde $\nabla f(x_n)$ yakın $x_n$). İçin$t \in \mathbb R$, İzin Vermek $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Dışbükeylik ile, buna bakın$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ yani $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Seç $t = \epsilon / |x_n - y|$. Bunu not et$|z_t| < 2 \epsilon$. Sonra $$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Bu, bununla çelişiyor $\nabla f(0) = 0$.

Answer 2

Bu gönderiyi takip sorusuyla güncelliyorum: Eğer $f$ bazı dışbükey kümelerde tanımlanan dışbükey bir işlevdir $E\subseteq \mathbb R^n$ ve eğer türevlenebilirse $E$, gradyanının sürekli olması gerektiği doğru mu $E$ (ve sadece iç mekanda değil)?