Dışsal eğrilik için ifade
Padmanabhan'ın Gravitation Foundations and Frontiers adlı kitabında, bir hiper yüzeyin dışsal eğriliği ile ilgili aşağıdaki denklem bölüm 12.2'de bulunabilir (bu kitapta yukarıdaki 12.19 denklemine bakın),
\begin{align} K_{\alpha\beta}=-\nabla_\alpha n_\beta=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}. \end{align}
Kitabın sözleşmesine göre yunan endeksleri mekansal koordinatlar için çalışıyor ($\alpha=1,2,3$) ve latin indeksleri uzay-zaman koordinatları için çalışır ($a=0,1,2,3$). Dolayısıyla yukarıdaki denklem, dışsal eğriliğin uzamsal bileşenleri için bir ifade verir,$K_{\alpha\beta}$. Buraya,$n^a$ vektör alanı hiper yüzeye normaldir ve $N$lapse işlevidir. Şimdi kitap, Christoffel sembolünü genişletirsek, aşağıdaki ifadeyi elde edeceğimizi iddia ediyor (kitaptaki 12.19 denklemine bakın),
$$K_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)$$
Buraya, $N^\alpha$ vardiya vektörü $h_{\alpha\beta}$ hiper yüzeyde indüklenen uzamsal metriktir ve $D_m$ tamamen uzamsal vektörler üzerindeki etkisiyle hiper yüzey üzerindeki içsel kovaryant türevidir $X_s$gibi bir kısıtlamayı karşılayan $X_sn^s=0$, olarak tanımlandı
$$D_mX_s=h^a_mh^b_s\nabla_aX_b,$$
nerede, $h^a_b=\delta^a_b+n^an_b$ hiper yüzeydeki izdüşüm tensörüdür ve $\nabla_a$ uzay-zaman için olağan kovaryant türevidir.
12.19 denklemini türetmeyi başaramadım. $K_{\alpha\beta}$. Aşağıda bunu nasıl yapmaya çalıştığımı gösteriyorum. Christoffel sembolü şu şekilde genişletilebilir:\begin{align} \Gamma^0_{\alpha\beta}&=\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{1}{2}g^{00}\left(\partial_\alpha g_{\beta 0}+\partial_\beta g_{\alpha 0}-\partial_0 g_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}g^{0\gamma}\left(\partial_\alpha g_{\beta \gamma}+\partial_\beta g_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(\partial_\alpha N_{\beta}+\partial_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=\frac{-1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Yukarıda, şu gerçekleri kullandım, $$n_0=-N,\quad n_\alpha=0,$$ $$D_\alpha N_\beta=h^a_\alpha h^b_\beta\nabla_a N_b=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$ $$h_{00}=N^\gamma N_\gamma,\quad h_{0\alpha}=N_\alpha,\quad h_{\alpha\beta}=g_{\alpha\beta}$$
Yanıtlar
OP'nin hesaplaması iyi görünüyor. Bu çizgide ilerlersek, gerekli ifade oldukça kolay bir şekilde elde edilebilir. İlk önce şunu not ediyorum,$$D_\alpha N_\beta=\partial_\alpha N_\beta-{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma\neq \partial_\alpha N_\beta-{}^{(4)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma=\partial_\alpha N_\beta-\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_\gamma,$$Belki de bu ikame, OP'nin hesaplamasında kafa karıştırıcı olan şeydi. Bunu düzeltirsek takip eder,\begin{align} &\frac{1}{2}g^{0a}\left(\partial_\alpha g_{\beta a}+\partial_\beta g_{\alpha a}-\partial_a g_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}+2{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+\frac{1}{2}N^{-2}N^{\gamma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}\nonumber\\ &\qquad+\frac{1}{2}N^{-2}N_{\sigma}h^{\gamma\sigma}\left(\partial_\alpha h_{\beta \gamma}+\partial_\beta h_{\alpha \gamma}-\partial_\gamma h_{\alpha\beta}\right)\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right)-N^{-2}{}^{(3)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}N_{\gamma}+N^{-2}N_{\sigma}{}^{(3)}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\beta}\nonumber\\ &=-\frac{1}{2}N^{-2}\left(D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right) \end{align} Bu nedenle, $$K_{\alpha\beta}=-N\Gamma^0_{\alpha\beta}=\frac{1}{2N}\left[D_\alpha N_{\beta}+D_\beta N_{\alpha}-\partial_0 h_{\alpha\beta}\right].$$
- Dışsal eğrilik, ortam uzay zamanında (hiper yüzeyden ziyade) şu şekilde tanımlanır: $n_a$: $$K_{ab} = -P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \nabla_c n_d,$$ ile $P_\perp$hiper yüzeydeki projeksiyon tensörü. Yapım gereği dışsal eğriliğin iki endeksinde uzaysal ve simetrik olduğuna dikkat edin.
- Yazmak için simetriyi kullanın $K_{ab}$ Lie türevi olarak:$$K_{ab} ={-\scriptsize\frac{1}{2}} P_\perp{}^c{}_{a}P_\perp{}^d{}_b \mathcal{L}_n \,g_{cd}.$$
- Metriğin ortogonal ayrışımını ve uyarlanmış koordinat sistemini kullanın $t^a = Nn^a + N^a$ lapse fonksiyonu ve shift vektörünün ulaşması için $$K_{ab} = {\scriptsize\frac{1}{2}}N^{-1}\mathcal{L}_{(N-t)}h_{ab}.$$
Referanslar:
- T. Thiemann, Modern Kanonik Kuantum Genel Göreliliğine Giriş , alt bölüm I.1.1