Doob'un genel alt-martingaller için eşitsizliğinin bir sonucu

Question

Şu sonucu ispatlamaya çalışıyorum:

İzin Vermek $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$bir submartingale veya supermartingale olun. Bunu herkes için göstermek için Doob Eşitsizliği ve Doob Ayrışımını kullanın$n \in \mathbb N$ ve $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ nerede $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.

Doob'un kullandığımız eşitsizliğinin sürümü, $p \geq 1$, $\lambda > 0$ve martingale veya pozitif submartingale $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Bu sonucu ne zaman kanıtlamak yeterlidir? $X$bir submartingale. Doob'un ayrışımını kullanma$X = M+A$, $M$ bir martingale ve $A$ artan tahmin edilebilir bir süreç $A_0 = 0$ (yani $A$pozitif bir submartingale), aslında daha güçlü bir eşitsizlik gösterebilir. Nitekim, o zamandan beri$A$ olumlu ve artıyor, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. Dan beri$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ bunu takip eder $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Bu eşitsizlikleri kullanarak şunu takip eder: \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Sorum iki yönlü:

1. Bu argümanda, varsayımlarımdaki bir kusur veya fark etmediğim gerekçesiz bir varsayım gibi bir hata var mı? Ve değilse,
2. Kullandığım kitabın (Klenke's Probability Theory: A Comprehensive Course ) katsayıları kullanmasının bir nedeni var mı?$12$ ve $9$ ziyade $9/2$ ve $6$? Belirtilen sonuç, martingalların ve Doob ayrışmasının daha temel özelliklerini kullanarak bir şekilde daha klasik mi yoksa daha kolay mı gösteriliyor?

Bu sorun burada da tartışılmıştır , ancak bu iş parçacığı, katsayıların görünüşteki keyfiliğine gerçekten değinmemektedir.$12$ ve $9$. Herhangi biri herhangi bir fikir verebilir mi?

Answer 1

Bu sadece bir cevabın parçası çünkü ispatınıza veya kullandığı tekniklere değinmiyorum, ama bir yorum için çok uzun. Benim sezgim, katsayıların isteğe bağlı olmasıdır çünkü optimal değildirler. İşte Jean-François Le Gall'in Brownian Motion, Martingales ve Stochastic Calculus kitabından aldığım olası bir gelişme (s. 263)

Maksimal eşitsizlik If$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ o zaman herkes için bir süperartingale $\lambda>0$ ve $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$

Kanıt (kitapta değil). Düzelt$\lambda>0$ ve $k\in\mathbb{N}$. İzin Vermek$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Durma zamanını tanımlayın$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$ve dikkat edin $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Dan beri$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ bir süperartingale $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Şimdi izin ver $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ ve $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Sahibiz$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ İki eşitsizliği yeniden düzenlemek ve toplamak $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ Bu arada, daha iyi bir üst sınırın olduğunu da kanıtladık. $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.