[Duplicate] karakteristik işlevi kullanılarak 2 Gauss dağılımının toplamının da bir Gauss dağılımı olduğunu kanıtlama
X ve Y iki olsun $ \mathcal{N}(0, 1) $dağılımlar. Bunu kanıtlamalıyım$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ eşittir $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.
Bunu bir Gauss dağılımının karakteristik fonksiyonunu kullanarak yapmaya çalışıyorum. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
Değişkeni değiştirerek hem x'i hem de y'yi değiştiremediğim için gerçekten ne yapacağımı bilmiyorum. Herhangi bir öneri?
Yanıtlar
İzin Vermek $Z=aX+bY$. Karakteristik işlevi$Z$ dır-dir:
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
DÜZENLEME (Özensiz hata ...) Eğer X ve Y bağımsız şunlardır:
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,
nerede $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$normal dağılımın karakteristik fonksiyonudur. Yani,
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,
normal dağılımın karakteristik fonksiyonu olan $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.