Eğer $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, yüksekliği ile $AD$ ve medyan $AK$. Kanıtlamak $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Question

Eğer $\triangle ABC$ bir üçgen ve $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, yüksekliği ile $AD$ ve medyan $AK$; farz et ki$D$ arasında $B$ ve $K$.

1. Kanıtla $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
2. O zaman kanıtla $\angle BCA= \frac\pi 8$ Eğer $|AD|=|DK|$.
3. Sonuçlandırın $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

Beraberliği çoktan kazandım ama nasıl başlayacağımı gerçekten bilmiyorum.

bunu biliyorum $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

Answer 1

Çevresini düşünün $\triangle ABC$. Dan beri$\angle A=\frac{\pi}{2}$, çapı alt eder, böylece $K$ çevreleyen ve $$KA=KB=KC\tag{1}$$

1. Dan beri $\triangle KCA$ ikizkenar $\angle KCA=\angle KAC$.
   İçinde$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, Böylece $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, fakat $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, Böylece $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED.
2. İçinde $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, Böylece $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
   Dan beri$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ ve $\angle KAC=\angle KCA$, Böylece $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED.
3. İçinde $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ ve $AK=KC=AD\sqrt{2}$ Böylece $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ diğer işlevleri $\frac{\pi}{8}$ kullanılarak yapılır $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$

Answer 2

İzin Vermek $D$ arasına yerleştirilmek $K$ ve $B$.

Böylece $AK$ bir medyan, elde ederiz $$AK=CK=KB,$$ hangi verir $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

Answer 3

1. Bunu anladığından beri $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, benzer üçgenlerin karşılık gelen açılarının eşit olduğu özelliğini kullanın. Ayrıca, dikkat edin$AK=KC$dolayısıyla $\triangle KAC$ ikizkenar.

2. Eğer $AD=DK$, sahibiz $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Böylece,$\triangle KAC$ ikizkenar olmak, bizde $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.

3. Sahibiz $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. İçinde$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$