Eğer $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ süreklidir ve yakınsar $f$ nokta şeklinde $f$Riemann Entegre Edilebilir mi? [çiftleme]
Aşağıdaki soruyu çözmeye çalışıyorum
Doğru ya da yanlış? Eğer$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ yakınsayan sürekli işlevler dizisidir $f$ o zaman $f$ Riemann entegre edilebilir mi ve $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$
Yorumların yardımıyla bu karşı örneği buldum , ancak daha basit bir örnek olmasını umuyorum.
Riemann integrallerini Lebesgue integralleri ile değiştirirsek, sonuç Dominated Convergence Teoremi ile doğrudur. Bu, eğer$f$ Riemann Entegre Edilebilir mi? $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Öyleyse bir karşı örnek ararken, bir tane bulmaya çalışmalıyız. $f$ Riemann integrallenemez.
Herhangi bir yardım için çok teşekkür ederim.
Yanıtlar
Klasik karşı örnek şudur: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. İzin Vermek$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (pozitif azalan dizinin sınırı olduğu için vardır), o zaman ya vardır $n_0$ öyle ki $f_{n_0}$ karşı örnek oluşturan Riemann ile integrallenemez, çünkü $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ herkes için Riemann entegre edilebilir mi $m$ya $f_n$ hepsi Riemann ile entegre edilebilir, ancak $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ Riemann ile entegre edilemez ve $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, o zaman bu bir karşı örnektir.