En az bir iyi tanımlanmış döngüsel alt grup $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, asal $p$.

Question

Formun tam sayılarını düşünün

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

Karşılık gelen kalıntı sınıfları kümesi $\{[pq + 1]\}$ döngüsel bir düzen grubu oluşturmak $p$ jeneratör ile $[p + 1]$.

Örnek: If $p = 11$ sonra $12$ döngüsel bir düzen alt grubu oluşturur $11$ içinde $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

Öklid bölünmesi (temsil) teorisini kullanarak yukarıdakilere doğrudan bir kanıtım var, ancak diğer kanıtları (veya bağlantıları / referansları) görmekle ilgilenirim. Ayrıca, wikipedia bağlantısı

$\quad$ Tamsayıların çarpımsal grubu modulo $n$

eyaletler

... asal olsa bile $n$ jeneratör bulmak için genel bir formül bilinmemektedir.

Bu nedenle, bu alandaki öğelerin sırasını belirleyen herhangi bir kısmi ilerleme ile de ilgileniyorum. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Answer 1

Burada daha büyük döngüsel grubu 'model oluşturuyoruz' $K_{2p}$ tarafından oluşturuldu $[p-1]$ içinde $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ için $p \ge 5$.

Grup $K_{2p}$ vardır $2p$ elementler.

Ayarlamak $k = p-1$, çift tamsayı.

Den başlayarak bir sayı listesi tanımlayın $p-1$ ve artırarak $2p$ aşağıda kalırken $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Şimdi ekle $p$ ikinci bir liste oluşturmak için her numaraya,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

$\text{[.]}_{\, p^2}$ sayı kümesinin kalıntıları $G_1 \cup G_2$ tam olarak $k$ için jeneratörler $K_{2p}$ sipariş vermek $2p$.

Devam ederek, adresinden başlayarak başka bir sayı listesi tanımlayacağız. $p+1$ ve artırarak $2p$
(eşdeğer olarak ekleyin $2$ her sayıya $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Şimdi ekle $p$ ikinci bir liste oluşturmak için her numaraya,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

$\text{[.]}_{\, p^2}$ sayı kümesinin kalıntıları $H_1 \cup H_2$ tam olarak $k$ içindeki öğeler $K_{2p}$ sipariş vermek $p$.

Dan beri $2p - 2k = 2$ hesaba katılması gereken iki unsur var $K_{2p}$. Ama bunlar iki unsur$\{[1],[p^2-1]\}$ doyurucu $x^2 = 1$.

---

Örnek: For $p = 11$ uygun alt grubu belirtin $K_{22}$ nın-nin $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

Düzenin unsurları $22$ oluşmaktadır

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

Düzenin unsurları $11$ oluşmaktadır

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

Düzenin unsurları $2$ oluşmaktadır

$\quad [120]$

Düzenin unsurları $1$ oluşmaktadır

$\quad [1]$