Eşzamanlı paralel radyoaktif bozunmanın kinetiği
Soru:
Bir radyoaktif izotop, A farklı çekirdeklerde şu şekilde eşzamanlı bozunmaya uğrar: \ begin {array} {cc} \ ce {A-> P} & \, (t_ {1/2} = 9 \ mathrm h) \\ \ ce {A-> S} & \, (t_ {1/2} = 4,5 \ \ mathrm h) \ end {dizi}
Başlangıçta ne P ne de Q'nun olmadığını varsayarsak, kaç saat sonra Q miktarı kalan A miktarının iki katı olacaktır?
Benim çözmem:
Aldım $t_{1/2}$ için $A$ gibi $T=\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}\ =\pu{ 3 h}$
Şimdi Rutherford-soddy yasasından sonra kalan atomların sayısı$n$ yarı ömürler,
$$N=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^n$$
ve yarı ömür sayısı $n=\dfrac{\text{Total time of Decay}}{\text{effective half life}}$
İzotop için $A$, $\dfrac{N_A}{N_{0_A}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/3}$ nerede $T$ ortak çürüme zamanı $\mathrm A$ ve $\mathrm Q$
İçin $\mathrm Q$ Bunu varsaymak zorundaydım $\mathrm Q$ aynı zamanda arasında bir ilişki oluşturmak için radyoaktif bozunmaya uğrar. $\mathrm A$ ve $\mathrm Q$
Şimdi yukarıdakiyle aynı formülü kullanarak $\dfrac{N_\mathrm Q}{N_{0_\mathrm Q}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{T/4.5}=\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T/9}$
Şimdi sorudaki koşulu uygulayarak, $$\left (\frac{1}{2}\right)^{2T/9}=2\cdot \left (\dfrac{1}{2}\right)^{T/3} $$
Güçle yükseltmek $9$ her iki tarafta da
$$\left (\dfrac{1}{2}\right )^{2T}=2^9\cdot \left (\frac{1}{2}\right )^{3T}$$
Hangi ima,
$$ 2^{-2T}=2^{9-3T}$$
Bu nedenle,
$$9-3T=-2T$$ $$ {\bbox[10px, border:2px solid red]{ T=9\ \mathrm h. }} $$
Bir cevabım olmasına ve koşulu tatmin etmesine rağmen, bunun için yapılan varsayım nedeniyle hala yanlış olduğunu düşünüyorum. $\mathrm Q$ ve arasındaki ilişkiyi kurmak için başka bir şey yapılması gerekiyor $\mathrm A$ ve $\mathrm Q$ Üstelik, başlangıçta hiçbirinin $\mathrm P$ ne de $\mathrm Q$ mevcuttu ve sanırım varsayım bunu ihlal ediyor.
Yanıtlar
Birinci dereceden paralel veya yan reaksiyonlar: Kavram
$$\require{cancel}\\ \ce{A ->[k_1] B} \ \ t=0\\ \ce{A ->[k_2] C} \ \ t=t$$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt}=k_1[A] + k_2[A] $$ $$-\frac{\mathrm d[A]}{\mathrm dt} = k_\text{eff} [A] \land k_\text{eff}=k_1+k_2$$
Etkili sipariş = 1
$$\left(t_{1/2}\right)_\text{eff}=\frac {\ln 2}{k_\text{eff}} $$
$$\frac 1 {(t_{1/2})_\text{eff}}=\frac {1}{(t_{1/2})_{1}} + \frac {1} {(t_{1/2})_{2}} $$
$$A_\text{eff}\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}=(A_1+A_2)\mathrm e^{-E_\mathrm a/(RT)}$$
Açısından farklılaşın $T$,
$${\frac{E_\mathrm a}{RT^2}}\cdot k_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1}{RT^2}+\frac{(E_\mathrm a)_2 k_2}{RT^2}$$
$$(E_\mathrm a)_\text{eff}=\frac{(E_\mathrm a)_1 k_1 +(E_\mathrm a)_2 k_2}{k_\text{eff}}$$
$$[A]_\mathrm t=[A]_0\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$a_t=a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\mathrm d[B]}{\mathrm dt}=k_1[A]=k_1a_0\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\int\limits_{0}^{b_t}\mathrm d[B]=k_1 a_0 \int\limits_0^t\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}\,\mathrm dt$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{-(k_1+k_2)}[\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}]_0^t$$
$$b_t=\frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}) $$
benzer şekilde,
$$c_t=\frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})$$
$$\frac{[B]}{[C]}=\frac{k_1}{k_2}$$
- oranı $B=\frac{[B]}{x}=\frac {k_1}{k_1+k_2}$ [yüzdelik çarpı 100]
- oranı $C=\frac{[C]}{x}=\frac {k_2}{k_1+k_2}$ [yüzdelik çarpı 100]
Asıl sorun
\begin{align} &\ce{A->[\textit{k}_1]P} &k_1 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{\ln 2}{9} \ \text{hr}^{-1} \\ &\ce{A->[\textit{k}_2]Q} &k_2 &= \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{2 \ln2}{9}\ \text{hr}^{-1}\\ \end{align}
$$Q_t=\frac{k_2a_0}{k_1+k_2}(1-\mathrm e^{-(k_1+k_2)t})=2A_t$$
$$\frac{k_2\cancel{a_0}}{k_1+k_2}\mathrm {(1-e^{-(k_1+k_2)t})}=2\cancel{a_0}\mathrm e^{-(k_1+k_2)t}$$
$$\frac{\cancel 2}{3}(1-\mathrm e^{-k_\text{eff}t})=\cancel 2\mathrm e^{-k_\text{eff}t}$$
$$\mathrm e^{-k_\text{eff}t} = \frac {1} {4}$$
$$\implies k_\text{eff}t = \ln 4 = \frac {3\ln 2}{9} t$$
$$\implies t= 6\mathrm h$$
Böylece cevabı 6 h olarak verir.
Soru zaten Yashwini tarafından çözüldü ve verilen cevap doğru.$^2$ Daha sezgisel ve soruya özel bir açıklama buradan gelecektir.
Şimdi, verilen iki tepki:
\ begin {dizi} {cc} \ require {cancel} \ ce {A -> P} & (t_ {1/2} = 9 \, \ mathrm h) \\ \ ce {A -> Q} & (t_ {1/2} = 4,5 \, \ mathrm h) \\ \ end {dizi}
Şimdi oran yasasını kullanarak,
\begin{align} -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm P [A] \tag{1} \\ -\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}&=k_\mathrm Q [A] \tag{2} \\ \end{align}
Yarı ömrü olan birinci dereceden reaksiyon için hız sabiti $t_{1/2}$ olarak tanımlanır:
$$k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}} \tag{3}$$
Şimdi, verilen değerleri değiştirerek $t_{1/2}$ denklemlere girdik $2k_\mathrm P = k_\mathrm Q$ (dan beri $k\, \alpha \frac{1}{t_{1/2}})$
Şimdi, sezgisel olarak, her iki reaksiyon birlikte gerçekleştiğinden, oluşan her bir P molü için iki mol Q'nun oluştuğu anlamına gelir. Bu nedenle, oluşan her P molü için, üç mol A reaksiyona girer (çünkü her bir P ve Q molü için bir mol gereklidir).
Şimdi, oran yasalarını ekliyoruz ($1$) ve $(2)$, reaksiyonlar eşzamanlı olarak gerçekleştiğinden, elde etmek için:
$$-\frac{\mathrm{d}[A]}{\mathrm{d}t}=(k_\mathrm P +k_\mathrm Q) [A] \tag{4} $$
Şimdi, arasındaki ilişkiyi kullandığından beri $k_\mathrm{P}$ ve $k_\mathrm{Q}$, anlıyoruz $k_\mathrm{P} + k_\mathrm{Q} = 3k_\mathrm{P}$
Bu nedenle, denklemdeki birinci dereceden reaksiyon için entegre oran yasasını kullanma $(4)$, anlıyoruz:
$$A=A_0e^{-3k_\mathrm Pt} $$
Şimdi miktarı $A$ burada kullanılacak $A_0 -A$ve bu değeri şu şekilde alıyoruz:
$$A_\text{used}=A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)$$
Şimdi, daha önce belirttiğimiz gibi, kullanılan her üç A molü için iki Q molü oluşur. Bu, şu anda karışımdaki Q miktarının üçte ikisi olacağı anlamına gelir.$A_\text{used}$. Bu nedenle Q miktarı şöyle olacaktır:
$$Q=\frac{2A_0\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3}$$
Şimdi, bize şart verildi, $Q = 2A$ikame değerleri $Q$ ve $A$ verilen ilişkiye şunu elde ederiz:
$$\begin{align} \frac{\cancel{2A_0}\left(1-e^{-3k_\mathrm Pt}\right)}{3} &= \cancel{2A_0}\left(e^{-3k_\mathrm Pt}\right) \\ \implies 1 -e^{-3k_\mathrm Pt} &= 3e^{-3k_\mathrm Pt} \\ \implies 4e^{-3k_\mathrm Pt} &= 1 \end{align}$$
İçin çözme $t$, anlıyoruz:
\begin{align} 3k_\mathrm Pt&=2\ln 2 \\ \\ t&=\frac{2\ln 2}{3k_\mathrm P}\\ \end{align}
Şimdi denklem kullanarak $(3)$, oranı sabit alıyoruz $k_\mathrm P$ olmak $\frac{\ln 2}{9}$. Bu değeri zaman ifadesine koyarak şunu elde ederiz:
$$t=\frac{2 \cancel{\ln 2}}{\cancel{3} \frac{\cancel{\ln 2}}{\cancelto{3}{9}}}$$
Bu nedenle, bu durumun gerçekleşmesi için geçen süre:
$$t=2\times 3 = 6\ \mathrm h$$