Faktoring ile ilgili sorun $x^4-x^3+x^2-x+1$
Kısmi kesri kullanarak aşağıdaki integrali hesaplamak istiyorum: $$\int{1\over x^5+1}dx$$Bu yüzden paydayı ayrıştırıyorum:
$$x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$$
Bir sonraki adım için internette aradım ve ayrıştırmam gerektiğini öğrendim$x^4-x^3+x^2-x+1$ bunun gibi:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2-ax+1)(x^2-bx+1)$$
Ve sonra $a,b$ kolayca bulunabilir.
Sorum şu, neden katsayıları $x^2,x^0$ vardır $1$?
Çünkü yeniden yazabilirim:
$$x^4-x^3+x^2-x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$$
Ve ilk bakışta görebildiğim tek şey $ad=1,cf=1$ ve neden olduğuna dair hiçbir fikrim yok $a=d=c=f=1$
Cevabını aşağıda görebilirsiniz:
Yanıtlar
Genel olarak, iki polinom bir sabitin çarpımına kadar verilir (birini ile çarpabilirsiniz. $k$ ve diğerleri tarafından $1/k$), böylece bunu şu şekilde düzenleyebilirsiniz: $a=d=1$Garanti edilir. Örneğin$x^2+4x+4$ olarak çarpanlara ayrılabilir $(x+2)(x+2)$ ama aynı zamanda $(2x+4)(\frac{1}{2}x+1)$. Bu yüzden, cevabı benzersiz kılmak için katsayılardan birini düzeltmekte özgürüz. Ancak bunu yaparsanız, o zaman başkaları için seçeneğiniz olmaz, bu yüzden burada doğru bir başlangıç $$x^4-x^3+x^2-x+1=(x^2−ax+b)(x^2−cx+d).$$
Elbette, sabit katsayılar hakkında daha fazla bilgi almak için biraz daha hesaplama yapabilirsiniz, ancak ondan önce değil.
Ayrıca biraz değiştirilmiş örnek, hem öncü hem de sabit katsayıların varsayılmasının $1$ başından beri yanlış:
$$ x^4-x^3+x^2+x+1=\\(x^2+0.86676039+0.46431261)(x^2-1.86676039x+2.15372137) $$
Bununla birlikte, bağlantılı diğer soruda işaret edildiği gibi, bu durumda muhtemelen polinomun palindromik olduğu (kendi kendine karşılıklı) olduğu kullanılmış (ancak açıklanmamıştır), bu da köklerinin çiftler halinde geldiği anlamına gelir. $\alpha, \frac{1}{\alpha}$ (bir sonucu $x^4f(1/x)=f(x)$). Bu, faktörleri bir biçimde beklemenizi sağlar$$(x-\alpha)(x-\frac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\frac{1}{\alpha})x+1,$$ veya daha genel $x^2-ax+1$.
Bir monik (ör. Baş katsayısı 1) 4. derece polinomunuz olduğunu varsayalım $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ iki 2. derece polinomu çarpanlara ayırdığınızı:
$(ex^2 + fx + g) \times (hx^2 + ix + j).$
Ardından, ilk polinomun her katsayısını şuna bölebilirsiniz: $e$ ve ikinci polinomun her katsayısını ile çarpın $e$. Bu şunları üretir: $(x^2 + [f/e]x + [g/e]) \times ([he]x^2 + [ie]x + [je]).$
Ancak, bu iki polinomun çarpımı olduğu için
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$,
sonra$h \times e$ gerekir = 1. $
Bu nedenle, 4. derece monik polinom, iki 2. derece monik polinom olarak çarpanlarına ayrılmıştır. Başkalarının bu faktoring altında belirttiğimiz gibi, sırf $ x ^ 0 $ 4. derece bir denklemin katsayı 1 anlamına gelmez $ x ^ 0 $ iki 2 dereceden polinom katsayıları her biri olması. Kesin olarak söyleyebileceğiniz tek şey , iki 2. derece polinomdaki iki $ x ^ 0 $ katsayısının çarpımının = 1 olması gerektiğidir.
Eğer doğru anlamak, sadece çok özgün sorguda verilen mghorta 4 derece polinom söz konusu 4 derece katsayısı için, iki mghorta 2 derece katsayıları dikkate alındığını zaman, ortaya çıkan mghorta 2 derece polinomları bu oldu var ne onların $ x ^ 0 $ katsayılarının her biri = 1.
Zeyilname OP'nin orijinal 4. derece polinomuna odaklanan
Her şeyden önce,
$ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) 'e eşit olan 4. derece polinomu düşünün . $
Bu, çarpımının form alacağı basit bir karşı örnektir .
$ x ^ 4 + ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + 1. $
Edit Pekala, bu utanç verici:
Az önce yukarıdaki karşı örneğimin kusurlu olduğunu fark ettim . Yani, $ (x ^ 2 + x + 5) \ times (x ^ 2 + x + [1/5]) $ , monik bir 4. derece polinomda birleştirildiğinde, bu 4. dereceyi çarpanlara ayırmanın alternatif yolları olabilir. Başlangıçta OP'ye önerilen modele uyan polinom.
Her neyse, bu ekin geri kalanı kısıtlamalara çok benzer bir şekilde bakar. https://math.stackexchange.com/questions/3792716/what-is-the-meaning-of-symmetry-of-the-coefficients birisinin zaten yorum yaptığı bağlantı.
Tüm bu analizler, görünüşe göre neden
$ f (x) = x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x + 1 $ ' ı $ (x ^ 2 - ax + 1) ile çarpanlarına ayırma önerisi olduğu sorusunu akla getiriyor
kere (x ^ 2 - bx + 1). $
Ben gerçekten ne oluyor o edildiğini olduğunu tahmin conjectured o $ f (x) $ böylece hesaba katılabilir.
Sonuç olarak, öğrenciden varsayımı keşfetmesi ve bunun doğru olup olmadığını görmesi istenir . Yolları keşfetmek, $ a $ ve $ b $ için aşağıdaki kısıtlamaları getirir :
(1) re $ x ^ 3: a + b = 1. $
(2) re $ x ^ 2: 2 + (a \ times b) = 1. $
(3) re $ x ^ 1: a + b = 1. $
$ A $ ve $ b $ değişkenlerinde üç kısıtınız olduğuna dikkat edin .
Bununla birlikte, kısıtlamalar (1) ve (3) aynı olduğundan, yalnızca iki kısıtlamayla sonuçlanırsınız.
Her iki kısıtlama (1) ve (2) doğrusal olsa bile, bu yine de (genel olarak) bir çözümü garanti etmez [örneğin r + s = 6. 2r + 2s = 11].
Mevcut durumda, kısıt (2) doğrusal değildir, bu da onu daha da belirsiz hale getirir. Not: Burada ince buz üzerindeyim, 1 doğrusal kısıtlamayı 1 doğrusal olmayan kısıtlamayla birleştirmenin etkisini hiç incelemedim.
Bununla birlikte , amaçlandığı gibi araştırıldığında, muhtemelen, tatmin edici $ a $ ve $ b $ değerleri bulunabilir. $ F (x) 'e bir göz atarsak , $ kısıt (3) ' ün kısıt (1) ile aynı olduğuna dikkat edin, çünkü $ f (x) $ ' da $ x ^ 3 $ ve $ x ^ 1 $ katsayıları aynıdır.
Bu nedenle, önerilen varsayımın iyi motive edildiği söylenebilir .