Fermiyonlar arasında BCS eşleştirme ve BEC çifti
Birçok ders notunda şunu belirtiyor:
Bozulmuş Fermi gazlarında BCS'den BEC'ye geçişi gerçekleştirmek için Feshbach rezonansını kullanarak saçılma uzunluğunu ayarlayabiliriz. Saçılma uzunluğu negatif (pozitif) olduğunda, BCS (BEC) eşleşmesini elde ederiz.
Anladığım kadarıyla, BCS eşleşmesi, BCS yaklaşımı nedeniyle sıfır net momentumlu Cooper çifti. BEC eşleştirmesi, Cooper çiftinin sıfır olmayan bir momentum ile üst üste binmesi olan Random Phase Approximation'dan kolektif moddur.$$\hat{b}_{q}=M_{pq}\hat{c}_{\downarrow q+\frac{p}{2}}\hat{c}_{\uparrow q-\frac{p}{2}}-N_{pq}\hat{c}^{\dagger}_{\uparrow -q-\frac{p}{2}}\hat{c}^{\dagger}_{\downarrow -q+\frac{p}{2}}$$ nerede $\hat{c}$ bir Fermion'u yok eder.
Anladığım kadarıyla, her iki vakanın da önceleri Cooper çiftleri. Cooper çiftlerinin varlığı, Fermion parçacıkları arasındaki çekici etkileşime dayanmaktadır. Bu nedenle, BEC çifti ayrıca negatif saçılma uzunluğu gerektirir.
Bu ders notlarındaki bazı resimler şunu gösteriyor:
BEC eşleşmesi gerçekleştiğinde, iki fermiyon bir molekül oluşturur
Yukarıdaki BCS eşleştirmesi ve BEC eşleştirmesi hakkındaki anlayışımın doğru olmadığını ima ediyor. Yine de itici etkileşimin nasıl bir molekülle sonuçlanabileceğini hayal edemiyorum.
Yani sorularım:
- BCS eşleştirmesi veya BEC eşleştirmesi nedir
- uzunluk işareti BCS eşleşmesine veya BEC eşleşmesine nasıl karar verir
Yanıtlar
BEC için en iyi tanımlardan biri (temelde köşegenleştirilmiştir) $\{\chi_i\}$) tek partikül yoğunluk matrisi $\rho_1$: $$ \rho_1(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \sum_i n_i \chi^\ast _i (\mathbf{r})\chi_i (\mathbf{r}').$$
- Eğer $n_i$ hepsi için 1 mertebesindedir $i$;, o zaman "normal" (Bose-yoğunlaştırılmış değil) durumdasınız;
- Bir ( tam olarak bir) özdeğer$n_i$ düzenlidir $N$(toplam parçacık sayısı) diğerleri düzen birliği içindeyken, (basit) bir BEC'e sahipsiniz. Bu özel özdurumun makroskopik bir mesleği vardır;
- Birden fazla özdeğer sıralıysa $N$, parçalanmış bir BEC'niz var.
Bir Fermi sistemi için, Pauli dışlama ilkesi, herhangi bir özdeğerin birliği aşmasını derhal yasaklar, bu nedenle gerçek anlamda bir BEC oluşamaz .
Yine de merak edebilirsiniz: yoğunluk matrisini iki parçacıklı hallerden (tek parçacıklı olanlar yerine) oluşturursak ne olur? İki partikül durumu bir diatomik molekül veya bir Cooper çifti olabilir (bu arada, sıfır olmayan bir etkileşim gücü olmadığı sürece ikisi de kararsız olacaktır). Bu durumda bir mertebe değerine sahip olabilirsiniz$N$ ve bu yüzden basit (veya parçalanmış) bir "BEC".
Ancak, gerçek anlamda BEC şunlarla ilgilidir:
- Bir (veya birkaç) tek parçacıklı durumun makroskopik mesleği ;
- Etkileşimsiz sistemler. BEC geçişi etkileşimlerle değil istatistikler tarafından yönlendirilir .
Yine, fermiyonlar bağlamında "BEC" dediğimiz her şey, kelimenin tam anlamıyla ve kesin olarak doğru değildir.
Ama her neyse.
Zayıf ve itici bir şekilde etkileşime giren seyreltik bir fermiyonik gazla başladığınızı varsayalım. Etkileşim gücü yeterince zayıftır (ve gaz yeterince seyrelmiştir), bu nedenle sadece iki atomu bir moleküle bağlamak yeterlidir. Molekül bir bozon gibi davranır ve yeterince seyreltilmiş bir gazda moleküller arası etkileşimleri ihmal edebiliriz, böylece moleküllerin BEC'ine sahip olabiliriz (evet, zayıf itici etkileşimlerle bağlı durumlara sahip olabilirsiniz). Bu tür, tek bir "parçacık" (molekül) durumu olduğu ve etkileşime girmediği (yaklaşık olarak) olduğu için yukarıdaki her iki kutuyu da işaretler. Altta yatan bileşenlerin fermiyonik doğasının önemli olmadığını unutmayın (molekül oluşumuna izin vermenin ötesinde), çünkü zayıf etkileşimlerde ve düşük yoğunluklarda bağlı durumun yarıçapı atomik boyuttan daha büyüktür.
Şimdi etkileşimi (hala zayıf olan) çekici hale getirin, böylece gazın yoğunluğunu arttırmış olursunuz. Moleküller üst üste gelmeye başlar (moleküller arası mesafe <moleküler yarıçap), böylece moleküller arası etkileşimleri artık görmezden gelemezsiniz. Mesele şu ki, sistem "yoğunlaşmaya" başlıyor. Dalga fonksiyonları üst üste biniyor ve daha önce sahip olduğunuz net ve kesin iki atomlu moleküllere sahip olamazsınız. Tam olarak hangi atomun hangi atomla eşleştiğini bilmiyorsunuz. Bu rejimde "moleküller" Cooper çiftleri olarak adlandırılır .
Bu, aşağıda resimsel olarak gösterilmektedir (resim buradan alınmıştır ), burada elipsler eşleşme ve bağların "aralığını" gösterir:
Yukarıdaki tartışma, büyük ölçüde Leggett'ın Kuantum sıvılar kitabını takip ediyor , bu yüzden doğrudan bir alıntıyla bitireyim:
Cooper eşleştirme sürecini bir tür BEC olarak veya tamamen farklı bir şey olarak düşünmek, belki de bir zevk meselesidir; bununla birlikte, seyreltik di-fermiyonik moleküllerin [...] BEC'inden niteliksel olarak farklı olduğunu takdir etmek önemlidir.
Sorularınıza kısa ve doğrudan cevaplar sonra:
- BCS eşleştirmesi veya BEC eşleştirmesi nedir
BCS-BEC geçişi bağlamında, "BEC çiftleriniz" iki fermiyondan oluşan diatomik moleküller olacaktır. Bu molekül bir bozon gibi davranır, çünkü zayıf etkileşimlerde ve seyreltik sınırda boyutu atom yarıçapından daha büyüktür, böylece bileşenlerinin fermiyonik doğası saçılma dinamikleriyle alakalı değildir. Başka bir deyişle, bu "çifti" tek bir parçacık (molekül) olarak ele alabilir ve Bose'u onları yoğunlaştırabilirsiniz.
BCS çiftleri Cooper çiftleridir. Çiftin boyutu atomun kendisinden çok daha geniş bir alana yayıldığında, başka hangi atomlarla eşleştiğini bilmek imkansız hale gelir. Yani daha önce iki atomlu moleküller gibi net kompozit sistemlere sahip değilsiniz. Cooper çiftindeki bu elektron fikri genellikle fazla basitleştirilmiştir ve kafa karışıklığına yol açar. John Bardeen'den (BCS'deki 'B') kendisinden alıntı yapmak gerekirse:
Eşleştirilmiş elektron fikri, tam olarak doğru olmasa da, onun anlamını yakalar.
- uzunluk işareti BCS eşleşmesine veya BEC eşleşmesine nasıl karar verir
Farkı yaratan, çiftin (molekül veya Cooper) çiftler arası mesafeye göre uzaysal boyutudur. Ayrıca çekici etkileşimlerle ve yalnızca yoğunluğu değiştirerek sözde BCS / BEC şeyine sahip olabilirsiniz.
Deneysel soğuk atomlar söz konusu olduğunda, pozitif ve negatif etkileşim kuvvetlerinin zayıf değerlerinin yararlı bir faz diyagramı ile sonuçlandığı ortaya çıktı:
