Fourier dönüşümü $L^1$ türevi olan fonksiyon $L^1$ ve sonsuzda kaybolur $L^1$
$f \in L^1(\mathbb{R})$ türevlenebilir bir işlevdir, öyle ki $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$fourier dönüşümü olduğunu kanıtlayın $f$ not alınmış $\hat{f}$ içinde $L^1 (\mathbb{R})$
Biliyorum eğer $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$, sonra $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$ama türevin sonsuzda yok olması koşulunu nasıl kullanacağım konusunda hiçbir fikrim yok. Herhangi bir fikir yardımcı olacaktır.
Yanıtlar
İki ipucu:
Gerçeğini kullanın $f'$ bunu göstermek sınırlıdır $f' \in L^2$ ve Plancherel kullanımı.
Bunu not et $f'$ sınırlı ve o zamandan beri$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ bunu görüyoruz $f' \in L^2$. Sonra Plancherel şunu gösterir:$\hat{f'} \in L^2$. Bunu not et$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$.
Cauchy Schwartz'ı kullanın ve şunu unutmayın: $\omega \neq 0$ sahibiz $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$.
İçin $\omega \neq 0$ sahibiz $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ ve Cauchy Schwartz verir $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$.