Gerçek simetrik matrisin özvektörleri tamamen ortogonal midir?
Doğrusal cebirde öğrendiğim gibi, gerçek bir simetrik matris $A$ her zaman ortogonal özvektörlere sahiptir, bu yüzden $A$ ama gerçek simetrik matrisin özvektörlerinin tümü ortogonal mi?
Aslında, $A$ köşegenleştirilebilir, böylece tersinir bulabiliriz $P$ ve $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Ama kanıtlayamam $P$ ortogonaldir, bunu sadece bulabilirim $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Yani $P^{T}PS=SP^{T}P.$Bu bunu gösteremez $P^{T}P=I_{n}.$
Yani bu $P$dikey? Değilse, ortogonal özvektörlerle ilişkisi nedir?
Bu arada bir ders notunu okurken bu soruna geldim.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
Herhangi bir simetrik matrisin ortogonal özvektörlere sahip olduğunu kanıtlama yönteminin yanlış olduğunu düşünüyorum.
Herhangi bir yardıma teşekkür edilecektir.
Yanıtlar
Bu bağlantıdaki teorem $A$"ortogonal özvektörlere sahiptir" ifadesinin çok daha kesin bir şekilde ifade edilmesi gerekir. (Ortogonal vektör diye bir şey yoktur, bu nedenle özvektörlerin ortogonal olduğunu söylemek pek mantıklı değildir. Bir vektör kümesi ortogonaldir veya değildir ve tüm özvektörlerin kümesi ortogonal değildir.)
İki özvektörün ortogonal olduğunu söylemek açıkça yanlıştır, çünkü eğer $x$ bir özvektördür, öyleyse $2x$. Doğru olan, farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörlerin ortogonal olmasıdır. Ve bu önemsiz: Varsayalım$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Sonra$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$yani $x\cdot y=0$.
Bu pdf yanlış mı? Teoremin ifadesiyle ilgili ciddi sorunlar var . Ama aslında ne demek istediğini varsayarsak, yukarıda söylediğim şey, kanıt muhtemelen doğrudur, çünkü çok basit.
Aslında, köşegenleştiren bir matrisin $A$ ortogonaldir, çünkü yanlıştır.
Örneğin, alın $A=I$(kimlik matrisi). Herhangi bir ters çevrilebilir matris$P$ köşegenleştirir $I$, ama tabii $P$ ortogonal olması gerekmez.
Eğer $A$ vardır $n$ farklı özdeğerler (nerede $A$ dır-dir $n\times n$), bu durumda ifade doğrudur, çünkü farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörler ortogonaldir (bkz. David C. Ullrich cevabı ).
Aksi takdirde, özvektörleri temel almanız gerekir; sonra, her bir özdeğer için$\lambda$özvektörleri karşılık gelen temelde alırsınız $\lambda$ve ortogonalleştirin. Sonra, özvektörlerin ortogonal bir temelini elde edersiniz.
Ve evet, ders notlarındaki kanıt yanlış: kullanmak $A=I$argüman her ters çevrilebilir matrisin dikgen olduğunu kanıtlayacaktır ki bu açıkça yanlıştır.