Gerçekten sonsuzluk kategorisi nedir?
Bir sonsuzluk kategorisinin tam olarak hangi bilgiyi kodladığıyla ilgileniyorum. Örneğin, uzayların sonsuz kategorisini düşünün. Bunu, homotopi limitlerini hesaplamamıza izin veren basit küme modelinden gelen bazı ekstra yapılarla donatılmış alanların homotopi kategorisi olarak düşünmeyi seviyorum. Benim (oldukça belirsiz) sorum şu:
- Bu yapı ne kadar benzersiz? Başka bir deyişle, bir homotopi kategorisi verildiğinde, kanonik ilişkili bir sonsuzluk kategorisi var mı?
- Buna bağlı olarak, sonsuzluk kategorileri doğada homotopik olmayan (bununla homotopi kategorisinden elde edilemeyen bilgileri kastediyorum) herhangi bir bilgiyi kodluyor mu? Öyleyse ne olmuş?
Yanıtlar
Sorunuzun çok daha düşük boyutlu bir benzerini düşünmenin yararlı olacağını düşünüyorum, ki bu (en azından benim için) sezgisel olarak akıl yürütmek çok daha kolay, ancak yine de mesajın bir kısmını karşılıyor.
Hadi karşılaştıralım $0$-kategoriler (yani, kümeler) ve $1$-kategoriler (yani kategoriler) kodlayabildiklerine göre.
- a $0$-category sadece bir nesne sınıfıdır. A'nın iki nesnesi$(0,1)$-kategori tam olarak eşitse eşdeğerdir (bu,$0$Eşitliğin kategorik olarak kesilmesi) ve nesneler hakkında gerçekten başka hiçbir şey söylenemez.
- a $1$-kategori bir $0$-kategori (zayıf şekilde) zenginleştirilmiş $(0,0)$-bir nesnenin diğeriyle nasıl ilişkili olduğu konusunda daha hassas olmamızı sağlayan kategoriler (yani kümeler); özellikle morfizmler , nesnelerin yapısını tanımlamamıza izin verir ve$1$- kategorik dil böylece nesnelerin özelliklerine yapılarına göre hitap eder. Daha doğrusu, a'nın iki nesnesi$1$-kategori, izomorfik ise tam olarak eşdeğerdir (yani, aynı yapıya sahiplerse) ve$1$-kategorik yapılar (eş / limitler gibi) izomorfizme kadar tanımlanır.
Verilen bir $1$-kategori $\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$homotopisini tanımlayabiliriz$0$-kategori $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$ olarak $0$Nesneleri, nesnelerin izomorfizm sınıfları olan kategori $\cC$. Bu, etkili bir sunum işlevi görür.$\cC$ Birlikte $0$-kategori anlamında nesnelerin $\cC$ tam olarak izomorfiktir. $\Ho\cC$ eşittir.
Bununla birlikte, birkaç eşdeğer olmadığı için bunun kanonik olarak bile tersine mühendislik yapmanın zor olduğunu görebiliriz. $1$-kategoriler aynı homotopiye sahip olabilir $0$-kategori. Bunu görmenin en hızlı yolu, bir$0$-kategori $X$ olarak düşünülebilir $1$-yalnızca özdeşlik morfizmlerinin bulunduğu kategori ve bu durumda $\Ho X=X$; özellikle, herhangi bir$1$-kategori $\cC$homotopi $0$-kategori $\Ho\cC$ aynı zamanda bir sunumdur $0$-kategori $X := \Ho\cC$ olarak görüldü $1$-kategori . Hangisi$\cC$ ve $X$ daha uygun bir "kanonik seçim" olurdu $1$-kategori "ile ilişkili $\Ho\cC$?
Dahası, yorumların da belirttiği gibi, gerçekleştirmek neredeyse imkansız. $1$homotopide kategorik yapılar $0$-kategori: tek diyagramlar $F:J\to\Ho\cC$limitleri olan sabit diyagramlardır. Aslında, bir functor'un sınırını hesaplıyor olsak bile$F:J\to\cC$ diyagramdaki tüm nesnelerin birbiriyle izomorfik olduğu (yani, indüklenen harita $F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$ sabit bir haritadır), böylece homotopideki sınır $0$-kategori var, sınır $\Ho\cC$ sınırla hiç ilişkili olmasına gerek yoktur $\cC$. Örneğin, Kartezyen ürünü$X\times X$ genellikle izomorfik değildir $X$, ancak ilgili haritadaki sınır $\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$ (sabit bir harita olan) her zaman izomorfizm sınıfı olacaktır $X$.
Hikaye benzer $(\infty,1)$-kategoriler. Bunlar, boşluklar açısından zayıf bir şekilde zenginleştirilmiş kategoriler olarak düşünülebilir (veya$\infty$-groupoids), nesneleri nasıl karşılaştırdığımız konusunda daha da hassas olabiliriz. Tıpkı kategorilerin nesnelerin yapısı ile ilgilendiği gibi,$(\infty,1)$-kategoriler nesnelerin homotopi tutarlı yapısı ile ilgilidir . Örneğin:
- topolojik uzayları düşünün $\Bbb R$, $(0,1)$, ve $\{0\}$. Onlara bakarsak$0$-kategorik olarak (içinde $0$-kategori $\mathbf{Top}_0$topolojik uzaylar), o zaman hepsi farklı unsurlardan oluştuğu için tamamen farklıdır. Onlara bakarsak$1$-kategorik olarak (içinde $1$-kategori $\mathbf{Top}$ topolojik uzaylar ve sürekli haritalar), sonra $\Bbb R$ ve $(0,1)$ aynıdır çünkü aynı topolojik yapıya sahiptirler, ancak $\{0\}$çünkü eşleştirilemezler. Son olarak onlara bakarsak$(\infty,1)$- kategorik olarak, bir noktaya kadar daraltılabilecekleri için üç nesnenin tümü aynıdır.
- benzer şekilde, kategorileri göz önünde bulundurun $\mathbf{FinSet}$ sonlu kümeler ve tam alt kategorisi $\mathbf{FinOrd}$sonlu sıra sayılarında. Kategoriler olarak izomorfik değildirler, çünkü birincisi uygun bir nesneler sınıfına sahipken, ikincisi bir kümeye sahiptir ve bu nedenle eşleştirilemez; ancak, kategoriler olarak eşdeğerdirler çünkü nesnelerini daraltabiliriz$\mathbf{FinSet}$ birlikte (kardinalitelerine göre) önyargılarla birlikte ve şunu bulun $\mathbf{FinOrd}$olduğu iskelet arasında$\mathbf{FinSet}$
Kesinlikle bir ile ilişkilendirebiliriz $(\infty,1)$-kategori $\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$ homotopi kategorisi $\Ho\sC$, nerede nesneler $\Ho\sC$ tam olarak eşdeğeri isomorftur. $\sC$, ancak bunu tersine mühendislik yapmaya çalışırken aynı sorunu görüyoruz. Daha önce olduğu gibi bir kategori$\cC$ olarak düşünülebilir $(\infty,1)$- tüm yüksek hücrelerin önemsiz olduğu kategori ve bu durumda $\Ho\cC=\cC$, yani verildi $(\infty,1)$-kategori $\sC$homotopi kategorisi aynı zamanda kategorinin bir sunumudur $\cC := \Ho\sC$ olarak görüldü $(\infty,1)$-kategori .
Dahası, bilgi işlem sınırları $\Ho\sC$ sınırların nasıl hesaplanacağı hakkında hiçbir şey söylemeyecek $\sC$. Örneğin,$(2,1)$-kategori $\mathbf{Cat}$ (küçük) kategoriler, işlevler ve doğal izomorfizmler $(\infty,1)$-kategori. Ardından, homotopi kategorisi$\Ho\mathbf{Cat}$gerçekte, burada gösterilen geri çekilmelere sahip değildir . İlgili homotopi kategoride homotopi genel olarak sınırlar ve sınırlar arasında ayrım da vurgulanmaktadır burada onlar vurgulamak nerede olsa bile sınır içinde$\Ho\sC$ var, sınıra karşılık gelmesi gerekmez $\sC$.
Bazı durumlarda, bir $(\infty,1)$-bir ile kategori $1$- Çalışabileceğiniz ekstra yapı ile donatılmış kategori $1$- yapısını tartışmak için kategorik dil $(\infty,1)$-kategorisi sunar ve hatta kurtarabilirsiniz $(\infty,1)$kanonik kategori. Örneğin, eğer$\sC$Bir olan lokal prezentabl$(\infty,1)$-kategori , daha sonra onu basit bir kombinatoryal model kategorisi ile sunabilirsiniz$\cC$. Sonra, sınırlar$\sC$ homotopi sınırlarına karşılık gelir $\cC$ve hatta aynı homotopi kategorilerine sahipler. Üstelik kurtarabilirsiniz$\sC$basitçe zenginleştirilmiş alt kategorisinin homotopi tutarlı sinirini alarak (örneğin)$\cC$ kofibrant lifli nesneler üzerinde, yani bu anlamda geriye doğru gitmenin de kanonik bir yolu var.